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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Sujet 0 - QCM

Exercice 5

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Les questions sont indépendantes.

  1. Sur l’intervalle [0;2π][0 ; 2\pi], l’équation sin(x)=0,1\sin(x) = 0,1 admet :

    1. zéro solution

    2. une solution

    3. deux solutions

    4. quatre solutions

  2. On considère la fonction ff définie sur l’intervalle [0;π][0 ; \pi] par f(x)=x+sin(x)f(x) = x + \sin(x). On admet que ff est deux fois dérivable.

    1. La fonction ff est convexe sur l’intervalle [0;π][0 ; \pi]

    2. La fonction ff est concave sur l’intervalle [0;π][0 ; \pi]

    3. La fonction ff admet sur l’intervalle [0;π][0 ; \pi] un unique point d’inflexion

    4. La fonction ff admet sur l’intervalle [0;π][0 ; \pi] exactement deux points d’inflexion

  3. Une urne contient cinquante boules numérotées de 1 à 50. On tire successivement trois boules dans cette urne, sans remise. On appelle « tirage » la liste non ordonnée des numéros des trois boules tirées.

    Quel est le nombre de tirages possibles, sans tenir compte de l’ordre des numéros ?

    1. 50350^3

    2. 1×2×31 \times 2 \times 3

    3. 50×49×4850 \times 49 \times 48

    4. 50×49×481×2×3\frac{50 \times 49 \times 48}{1 \times 2 \times 3}

  4. On effectue dix lancers d’une pièce de monnaie. Le résultat d’un lancer est « pile » ou « face ». On note la liste ordonnée des dix résultats.

    Quel est le nombre de listes ordonnées possibles ?

    1. 2×102 \times 10

    2. 2102^{10}

    3. 1×2×3×⋯×101 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 10

    4. 1×2×3×⋯×101×2\frac{1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 10}{1 \times 2}

  5. On effectue nn lancers d’une pièce de monnaie équilibrée. Le résultat d’un lancer est « pile » ou « face ». On considère la liste ordonnée des nn résultats.

    Quelle est la probabilité d’obtenir au plus deux fois « pile » dans cette liste?

    1. n(n−1)2\frac{n(n - 1)}{2}

    2. n(n−1)2×(12)n\frac{n(n - 1)}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^n

    3. 1+n+n(n−1)21 + n + \frac{n(n - 1)}{2}

    4. (1+n+n(n−1)2)×(12)n\left(1 + n + \frac{n(n - 1)}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right)^n

Corrigé

  1. Sur l’intervalle [0;2π][0 ; 2\pi], le tableau de variation de la fonction sin\sin est le suivant :

    Tableau de variation de la fonction sinus

    La fonction sin\sin est strictement croissante sur l’intervalle [0;π2]\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right], décroissante sur l’intervalle [π2;3π2]\left[\frac{\pi}{2} ; \frac{3\pi}{2}\right], et croissante sur l’intervalle \left[\\frac{3\pi}{2} ; 2\pi\right]. En utilisant le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on trouve que l'équation proposée admet deux solutions dans [0;3π2]\left[0 ; \frac{ 3\pi }{2 }\right] et aucune solution dans [3π2;2π]\left[\frac{ 3\pi }{2 } ; 2\pi \right] .

    La réponse correcte est donc :
    b. deux solutions.

  2. Pour déterminer la convexité ou la concavité, nous devons examiner la dérivée seconde de ff.

    f′(x)=1+cos(x)f^{\prime}(x) = 1 + \cos(x).

    f′′(x)=−sin(x)f^{\prime \prime}(x) = - \sin(x).

    f′′(x)⩽0f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0 sur [0;π][0 ; \pi], ce qui indique que ff est concave sur cet intervalle.

    La réponse correcte est donc :

    b. La fonction ff est concave sur l’intervalle [0;π][0 ; \pi] .

  3. Le nombre de tirages possibles, sans tenir compte de l’ordre des numéros, est donné par le coefficient binomial :

    (503)=50×49×483×2×1 \binom{50}{3} = \frac{50 \times 49 \times 48}{3 \times 2 \times 1}

    La réponse correcte est donc :

    d. 50×49×481×2×3\frac{50 \times 49 \times 48}{1 \times 2 \times 3}.

  4. On effectue dix lancers d’une pièce de monnaie. Le résultat d’un lancer est « pile » ou « face ». On note la liste ordonnée des dix résultats.

    Quel est le nombre de listes ordonnées possibles ?

    Le nombre de listes ordonnées possibles est donné par :

    210 2^{10}

    car chaque lancer a deux résultats possibles.

    La réponse correcte est donc :

    b. 2102^{10}.

  5. La probabilité d’obtenir au plus deux fois « pile » dans cette liste est la somme des probabilités d'obtenir 0, 1 ou 2 piles.

    La probabilité d’obtenir kk piles en nn lancers est donnée par la loi binomiale :

    P(X=k)=(nk)(12)k(12)n−k=(nk)(12)n P(X = k) = \binom{n}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(\frac{1}{2}\right)^{n - k} = \binom{n}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^n

    Pour 0, 1, ou 2 piles :

    P(X=0)=(n0)(12)n P(X =0) = \binom{n}{0} \left(\frac{1}{2}\right)^n

    P(X=1)=(n1)(12)n P(X =1) = \binom{n}{1} \left(\frac{1}{2}\right)^n

    P(X=2)=(n2)(12)n P(X =2) = \binom{n}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^n

    Par conséquent :

    P(X⩽2)=((n0)+(n1)+(n2))(12)n P(X \leqslant 2) = \left( \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} \right) \left(\frac{1}{2}\right)^n

    P(X⩽2)=(1+n+n(n−1)2)(12)n P(X \leqslant 2) = \left( 1 + n + \frac{n(n - 1)}{2} \right) \left(\frac{1}{2}\right)^n

    La réponse correcte est donc :

    d. (1+n+n(n−1)2)×(12)n\left(1 + n + \frac{n(n - 1)}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right)^n.

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