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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites - Bac S Asie 2013

Exercice 4   5 points

Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Partie A

On considère la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par u0=2u_{0}=2 et, pour tout entier naturel nn :

un+1=1+3un3+un.u_{n+1}=\frac{1+3u_{n}}{3+u_{n}}.

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn, on a :

    un>1u_{n} > 1

    1. Établir que, pour tout entier naturel nn, on a :

      un+1−un=(1−un)(1+un)3+unu_{n+1} - u_{n}=\frac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1+u_{n}\right)}{3+ u_{n}}.

    2. Déterminer le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n}\right).

      En déduire que la suite (un)\left(u_{n}\right) converge.

Partie B

On considère la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par : u0=2u_{0}=2 et, pour tout entier naturel nn :

un+1=1+0,5un0,5+un. u_{n+1}=\frac{1+0,5u_{n}}{0,5+u_{n}}.

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. On considère l'algorithme suivant :

    Entrée Soit un entier naturel non nul nn
    Initialisation Affecter à uu la valeur 2
    Traitement et sortie POUR ii allant de 1 à nn
    \quadAffecter à uu la valeur 1+0,5u0,5+u\frac{1+0,5u}{0,5+u}
    \quadAfficher uu
    FIN POUR
    Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour n=3n=3. Les valeurs de uu seront arrondies au millième.
    ii     1     2     3
    uu    

  2. Pour n=12n=12, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :

    ii 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    uu 1,0083 0,9973 1,0009 0,9997 1,0001 0,99997 1,00001 0,999996 1,000001
    Conjecturer le comportement de la suite (un)\left(u_{n}\right) à l'infini.

  3. On considère la suite (vn)\left(v_{n}\right) définie, pour tout entier naturel nn, par : vn=un−1un+1v_{n}=\frac{u_{n} - 1}{u_{n}+1}.

    1. Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est géométrique de raison −13 - \frac{1}{3}.

    2. Calculer v0v_{0} puis écrire vnv_{n} en fonction de nn.

    1. Montrer que, pour tout entier naturel nn, on a : vn≠1v_{n} \neq 1.

    2. Montrer que, pour tout entier naturel nn, on a : un=1+vn1−vnu_{n}=\frac{1+v_{n}}{1 - v_{n}}.

    3. Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right).

Corrigé

Partie A

  1. Soit PnP_{n} la propriété «un>1u_{n} > 1»

    Initialisation : u0=2>1u_{0}=2 > 1 donc P0P_{0} est vraie.

    Hérédité Supposons que PnP_{n} soit vraie pour un entier nn fixé. Alors :

    un+1−1=1+3un3+un−1=1+3un3+un−3+un3+un=−2+2un3+un=2(un−1)3+unu_{n+1} - 1=\frac{1+3u_{n}}{3+u_{n}} - 1=\frac{1+3u_{n}}{3+u_{n}} - \frac{3+u_{n}}{3+u_{n}}=\frac{ - 2+2u_{n}}{3+u_{n}}=\frac{2\left(u_{n} - 1\right)}{3+u_{n}}

    Comme un>1u_{n} > 1 par hypothèse de récurrence, le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs donc un+1−1>0u_{n+1} - 1 > 0 donc un+1>1u_{n+1} > 1 ce qui prouve l'hérédité.

    Par conséquent, un>1u_{n} > 1 pour tout entier naturel nn.

    1. un+1−un=1+3un3+un−un=1+3un3+un−un(3+un)3+un=1−un23+unu_{n+1} - u_{n}=\frac{1+3u_{n}}{3+u_{n}} - u_{n}=\frac{1+3u_{n}}{3+u_{n}} - \frac{u_{n}\left(3+u_{n}\right)}{3+u_{n}}=\frac{1 - u_{n}^{2}}{3+u_{n}}

      un+1−un=(1−un)(1+un)3+unu_{n+1} - u_{n}=\frac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1+u_{n}\right)}{3+ u_{n}}

    2. D'après la question 1. un>1u_{n} > 1 pour tout entier naturel nn. Par conséquent :

      ♦  1−un<01 - u_{n} < 0

      ♦  1+un>01+u_{n} > 0

      ♦  3+un>03+u_{n} > 0

      un+1−unu_{n+1} - u_{n} est donc strictement négatif pour tout entier nn. Par conséquent, la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante.

      La suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante et minorée par 11 donc convergente (voir cours)

Partie B

  1. A la calculatrice (en utilisant le menu Suites) on trouve :

    ii 1 2 3
    uu 0,8 1,077 0,976

  2. La suite (un)\left(u_{n}\right) semble converger vers 11.

    1. vn+1=un+1−1un+1+1=1+0,5un0,5+un−11+0,5un0,5+un+1=−0,5un−0,50,5+un1,5un+1,50,5+un=−0,5un−0,50,5+un×0,5+un1,5un+1,5v_{n+1} = \frac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1}+1} = \frac{\frac{1+0,5u_{n}}{0,5+u_{n}} - 1}{\frac{1+0,5u_{n}}{0,5+u_{n}}+1}=\frac{\frac{ - 0,5u_{n} - 0,5}{0,5+u_{n}}}{\frac{1,5u_{n}+1,5}{0,5+u_{n}}}=\frac{ - 0,5u_{n} - 0,5}{0,5+u_{n}}\times \frac{0,5+u_{n}}{1,5u_{n}+1,5}

      vn+1=−0,5un−0,51,5un+1,5=−0,51,5×un−1un+1=−13vnv_{n+1} =\frac{ - 0,5u_{n} - 0,5}{1,5u_{n}+1,5}= - \frac{0,5}{1,5}\times \frac{u_{n} - 1}{u_{n}+1}= - \frac{1}{3}v_{n}

      Donc, la suite (vn)\left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison −13 - \frac{1}{3}

    2. v0=u0−1u0+1=13v_{0}=\frac{u_{0} - 1}{u_{0}+1}=\frac{1}{3}

      Par conséquent :

      vn=v0×(−13)n=13×(−13)nv_{n}=v_{0}\times \left( - \frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{1}{3}\times \left( - \frac{1}{3}\right)^{n}

      (Remarque : le résultat peut aussi s'écrire −(−13)n+1 - \left( - \frac{1}{3}\right)^{n+1})

    1. Pour tout entier nn, (−13)n⩽1\left( - \frac{1}{3}\right)^{n} \leqslant 1 donc vn⩽13v_{n} \leqslant \frac{1}{3} et par conséquent vn≠1v_{n}\neq 1

    2. vn=un−1un+1v_{n}=\frac{u_{n} - 1}{u_{n}+1} équivaut à :

      vn(un+1)=un−1v_{n}\left(u_{n}+1\right)=u_{n} - 1

      vnun+vn=un−1v_{n}u_{n}+v_{n}=u_{n} - 1

      vnun−un=−vn−1v_{n}u_{n} - u_{n}= - v_{n} - 1

      −vnun+un=vn+1 - v_{n}u_{n}+u_{n}=v_{n}+1

      un(1−vn)=vn+1u_{n}\left(1 - v_{n}\right)=v_{n}+1

      un=1+vn1−vnu_{n}=\frac{1+v_{n}}{1 - v_{n}} car pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, vn≠1v_{n}\neq 1

    3. vnv_{n} est une suite géométrique dont la raison est strictement inférieure à 11 en valeur absolue.

      La suite (vn)\left(v_{n}\right) converge donc vers 00 (voir limite d'une suite géométrique).

      D'après la formule un=1+vn1−vnu_{n}=\frac{1+v_{n}}{1 - v_{n}} et les règles de calcul sur les limites, la suite (un)\left(u_{n}\right) converge donc vers 11.

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