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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fonctions paires et impaires

Définition

Une fonction ff définie sur un ensemble D\mathscr D symétrique par rapport à 0 est paire si et seulement si pour tout xDx \in \mathscr D :

f(x)=f(x)f( - x)=f(x)

Propriété

Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Définition

Une fonction ff définie sur un ensemble D\mathscr D symétrique par rapport à 0 est impaire si et seulement si pour tout xDx \in \mathscr D :

f(x)=f(x)f( - x)= - f(x)

Propriété

La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Méthode

Préalable : On vérifie que l'ensemble de définition de la fonction est symétrique par rapport à 0.

C'est le cas, en particulier, pour les ensembles R\mathbb{R}, R\{0}\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\} et les intervalles du type [a;a]\left[ - a;a\right] et ]a;a[\left] - a;a\right[. Si l'ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0, la fonction n'est ni paire ni impaire.

  1. Pour montrer qu'une fonction ff est paire:

    • On calcule f(x)f\left( - x\right) en remplaçant xx par (x)\left( - x\right) dans l'expression de f(x)f\left(x\right).

    • On montre que f(x)=f(x)f\left( - x\right)=f\left(x\right)

  2. Pour montrer qu'une fonction ff est impaire :

    • On calcule f(x)f\left( - x\right) en remplaçant xx par (x)\left( - x\right) dans l'expression de f(x)f\left(x\right).

    • On calcule f(x) - f\left(x\right)

    • On montre que f(x)=f(x)f\left( - x\right)= - f\left(x\right)

  3. Pour montrer qu'une fonction ff n'est pas paire :

    Il suffit d'un contre-exemple c'est à dire qu'il suffit de trouver un nombre aa tel que f(a)f(a)f\left( - a\right)\neq f\left(a\right)

  4. Pour montrer qu'une fonction ff n'est pas impaire :

    Il suffit d'un contre-exemple c'est à dire qu'il suffit de trouver un nombre aa tel que f(a)f(a)f\left( - a\right)\neq - f\left(a\right)

Remarques

  1. Si l'énoncé ne précise pas s'il faut montrer que ff est paire ou s'il faut montrer que ff est impaire, il peut s'avérer utile de tracer la courbe représentative de ff à la calculatrice.

    si la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, la fonction est paire.

    si la courbe est symétrique par rapport à l'origine, la fonction est impaire.

  2. Une fonction peut n'être ni paire, ni impaire (c'est même le cas général ! )

  3. Seule la fonction nulle (x0x\mapsto 0) est à la fois paire et impaire.

Exemple 1

Montrer que la fonction définie sur R\{0}\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\} par f:x1+x2x2f : x\mapsto \frac{1+x^{2}}{x^{2}} est paire.

Pour tout réel non nul xx :

f(x)=1+(x)2(x)2f\left( - x\right)=\frac{1+\left( - x\right)^{2}}{\left( - x\right)^{2}}

Or (x)2=x2\left( - x\right)^{2}=x^{2} donc

f(x)=1+x2x2f\left( - x\right)=\frac{1+x^{2}}{x^{2}}

Pour tout xR\{0}x\in \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}, f(x)=f(x)f\left( - x\right)=f\left(x\right) donc la fonction ff est paire.

Exemple 2

Etudier la parité de la fonction définie sur R\mathbb{R} par f:x2x1+x2f : x\mapsto \frac{2x}{1+x^{2}}

La courbe de la fonction ff donnée par la calculatrice semble symétrique par rapport à l'origine du repère.

calculatrice-fonction-impaire

On va donc montrer que ff est impaire.

Pour tout réel xx :

f(x)=2×(x)1+(x)2f\left( - x\right)=\frac{2\times \left( - x\right)}{1+\left( - x\right)^{2}}

Or (x)2=x2\left( - x\right)^{2}=x^{2} donc

f(x)=2x1+x2f\left( - x\right)=\frac{ - 2x}{1+x^{2}}

Par ailleurs :

f(x)=2x1+x2 - f\left(x\right)= - \frac{2x}{1+x^{2}}

Pour tout réel xx, f(x)=f(x)f\left( - x\right)= - f\left(x\right) donc la fonction ff est impaire.

Exemple 3

Etudier la parité de la fonction définie sur R\mathbb{R} par f:x1+x1+x2f : x\mapsto \frac{1+ x}{1+x^{2}}

La courbe de la fonction ff donnée par la calculatrice ne présente aucune symétrie.

ecran-calculatrice-fonction

On va donc montrer que ff n'est ni paire ni impaire.

Calculons par exemple f(1)f\left(1\right) et f(1)f\left( - 1\right)

f(1)=22=1f\left(1\right)=\frac{2}{2}=1 et f(1)=02=0f\left( - 1\right)=\frac{0}{2}=0

On a donc f(1)f(1)f\left( - 1\right)\neq f\left(1\right) et f(1)f(1)f\left( - 1\right)\neq - f\left(1\right)

Donc ff n'est ni paire ni impaire.