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Seconde

Complément

Fonctions paires et impaires

Définition

Une fonction fff définie sur un ensemble D\mathscr DD symétrique par rapport à 0 est paire si et seulement si pour tout x∈Dx \in \mathscr Dx∈D :

f(−x)=f(x)f( - x)=f(x)f(−x)=f(x)

Propriété

Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Définition

Une fonction fff définie sur un ensemble D\mathscr DD symétrique par rapport à 0 est impaire si et seulement si pour tout x∈Dx \in \mathscr Dx∈D :

f(−x)=−f(x)f( - x)= - f(x)f(−x)=−f(x)

Propriété

La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Méthode

Préalable : On vérifie que l'ensemble de définition de la fonction est symétrique par rapport à 0.

C'est le cas, en particulier, pour les ensembles R\mathbb{R}R, R\{0}\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}R\{0} et les intervalles du type [−a;a]\left[ - a;a\right][−a;a] et ]−a;a[\left] - a;a\right[]−a;a[. Si l'ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0, la fonction n'est ni paire ni impaire.

  1. Pour montrer qu'une fonction fff est paire:

    • On calcule f(−x)f\left( - x\right)f(−x) en remplaçant xxx par (−x)\left( - x\right)(−x) dans l'expression de f(x)f\left(x\right)f(x).

    • On montre que f(−x)=f(x)f\left( - x\right)=f\left(x\right)f(−x)=f(x)

  2. Pour montrer qu'une fonction fff est impaire :

    • On calcule f(−x)f\left( - x\right)f(−x) en remplaçant xxx par (−x)\left( - x\right)(−x) dans l'expression de f(x)f\left(x\right)f(x).

    • On calcule −f(x) - f\left(x\right)−f(x)

    • On montre que f(−x)=−f(x)f\left( - x\right)= - f\left(x\right)f(−x)=−f(x)

  3. Pour montrer qu'une fonction fff n'est pas paire :

    Il suffit d'un contre-exemple c'est à dire qu'il suffit de trouver un nombre aaa tel que f(−a)≠f(a)f\left( - a\right)\neq f\left(a\right)f(−a)≠f(a)

  4. Pour montrer qu'une fonction fff n'est pas impaire :

    Il suffit d'un contre-exemple c'est à dire qu'il suffit de trouver un nombre aaa tel que f(−a)≠−f(a)f\left( - a\right)\neq - f\left(a\right)f(−a)≠−f(a)

Remarques

  1. Si l'énoncé ne précise pas s'il faut montrer que fff est paire ou s'il faut montrer que fff est impaire, il peut s'avérer utile de tracer la courbe représentative de fff à la calculatrice.

    si la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, la fonction est paire.

    si la courbe est symétrique par rapport à l'origine, la fonction est impaire.

  2. Une fonction peut n'être ni paire, ni impaire (c'est même le cas général ! )

  3. Seule la fonction nulle (x↦0x\mapsto 0x↦0) est à la fois paire et impaire.

Exemple 1

Montrer que la fonction définie sur R\{0}\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}R\{0} par f:x↦1+x2x2f : x\mapsto \frac{1+x^{2}}{x^{2}}f:x↦​x​2​​​​1+x​2​​​​ est paire.

Pour tout réel non nul xxx :

f(−x)=1+(−x)2(−x)2f\left( - x\right)=\frac{1+\left( - x\right)^{2}}{\left( - x\right)^{2}}f(−x)=​(−x)​2​​​​1+(−x)​2​​​​

Or (−x)2=x2\left( - x\right)^{2}=x^{2}(−x)​2​​=x​2​​ donc

f(−x)=1+x2x2f\left( - x\right)=\frac{1+x^{2}}{x^{2}}f(−x)=​x​2​​​​1+x​2​​​​

Pour tout x∈R\{0}x\in \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}x∈R\{0}, f(−x)=f(x)f\left( - x\right)=f\left(x\right)f(−x)=f(x) donc la fonction fff est paire.

Exemple 2

Etudier la parité de la fonction définie sur R\mathbb{R}R par f:x↦2x1+x2f : x\mapsto \frac{2x}{1+x^{2}}f:x↦​1+x​2​​​​2x​​

La courbe de la fonction fff donnée par la calculatrice semble symétrique par rapport à l'origine du repère. calculatrice-fonction-impaire On va donc montrer que fff est impaire.

Pour tout réel xxx :

f(−x)=2×(−x)1+(−x)2f\left( - x\right)=\frac{2\times \left( - x\right)}{1+\left( - x\right)^{2}}f(−x)=​1+(−x)​2​​​​2×(−x)​​

Or (−x)2=x2\left( - x\right)^{2}=x^{2}(−x)​2​​=x​2​​ donc

f(−x)=−2x1+x2f\left( - x\right)=\frac{ - 2x}{1+x^{2}}f(−x)=​1+x​2​​​​−2x​​

Par ailleurs :

−f(x)=−2x1+x2 - f\left(x\right)= - \frac{2x}{1+x^{2}}−f(x)=−​1+x​2​​​​2x​​

Pour tout réel xxx, f(−x)=−f(x)f\left( - x\right)= - f\left(x\right)f(−x)=−f(x) donc la fonction fff est impaire.

Exemple 3

Etudier la parité de la fonction définie sur R\mathbb{R}R par f:x↦1+x1+x2f : x\mapsto \frac{1+ x}{1+x^{2}}f:x↦​1+x​2​​​​1+x​​

La courbe de la fonction fff donnée par la calculatrice ne présente aucune symétrie. ecran-calculatrice-fonction On va donc montrer que fff n'est ni paire ni impaire.

Calculons par exemple f(1)f\left(1\right)f(1) et f(−1)f\left( - 1\right)f(−1)

f(1)=22=1f\left(1\right)=\frac{2}{2}=1f(1)=​2​​2​​=1 et f(−1)=02=0f\left( - 1\right)=\frac{0}{2}=0f(−1)=​2​​0​​=0

On a donc f(−1)≠f(1)f\left( - 1\right)\neq f\left(1\right)f(−1)≠f(1) et f(−1)≠−f(1)f\left( - 1\right)\neq - f\left(1\right)f(−1)≠−f(1)

Donc fff n'est ni paire ni impaire.

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