Fonctions paires et impaires

Définition

Une fonction $f$ définie sur un ensemble $\mathscr D$ symétrique par rapport à 0 est paire si et seulement si pour tout $x \in \mathscr D$ :

$f( - x)=f(x)$

Propriété

Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Définition

Une fonction $f$ définie sur un ensemble $\mathscr D$ symétrique par rapport à 0 est impaire si et seulement si pour tout $x \in \mathscr D$ :

$f( - x)= - f(x)$

Propriété

La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Méthode

Préalable : On vérifie que l'ensemble de définition de la fonction est symétrique par rapport à 0.

C'est le cas, en particulier, pour les ensembles $\mathbb{R}$ , $\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}$ et les intervalles du type $\left[ - a;a\right]$ et $\left] - a;a\right[$ . Si l'ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à 0, la fonction n'est ni paire ni impaire.

Pour montrer qu'une fonction $f$ est paire:
- On calcule $f\left( - x\right)$ en remplaçant $x$ par $\left( - x\right)$ dans l'expression de $f\left(x\right)$ .
- On montre que $f\left( - x\right)=f\left(x\right)$
Pour montrer qu'une fonction $f$ est impaire :
- On calcule $f\left( - x\right)$ en remplaçant $x$ par $\left( - x\right)$ dans l'expression de $f\left(x\right)$ .
- On calcule $- f\left(x\right)$
- On montre que $f\left( - x\right)= - f\left(x\right)$
Pour montrer qu'une fonction $f$ n'est pas paire :
Il suffit d'un contre-exemple c'est à dire qu'il suffit de trouver un nombre $a$ tel que $f\left( - a\right)\neq f\left(a\right)$
Pour montrer qu'une fonction $f$ n'est pas impaire :
Il suffit d'un contre-exemple c'est à dire qu'il suffit de trouver un nombre $a$ tel que $f\left( - a\right)\neq - f\left(a\right)$

Remarques

Si l'énoncé ne précise pas s'il faut montrer que $f$ est paire ou s'il faut montrer que $f$ est impaire, il peut s'avérer utile de tracer la courbe représentative de $f$ à la calculatrice.
si la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, la fonction est paire.
si la courbe est symétrique par rapport à l'origine, la fonction est impaire.
Une fonction peut n'être ni paire, ni impaire (c'est même le cas général ! )
Seule la fonction nulle ( $x\mapsto 0$ ) est à la fois paire et impaire.

Exemple 1

Montrer que la fonction définie sur $\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}$ par $f : x\mapsto \frac{1+x^{2}}{x^{2}}$ est paire.

Pour tout réel non nul $x$ :

$f\left( - x\right)=\frac{1+\left( - x\right)^{2}}{\left( - x\right)^{2}}$

Or $\left( - x\right)^{2}=x^{2}$ donc

$f\left( - x\right)=\frac{1+x^{2}}{x^{2}}$

Pour tout $x\in \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}$ , $f\left( - x\right)=f\left(x\right)$ donc la fonction $f$ est paire.

Exemple 2

Etudier la parité de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f : x\mapsto \frac{2x}{1+x^{2}}$

La courbe de la fonction $f$ donnée par la calculatrice semble symétrique par rapport à l'origine du repère. calculatrice-fonction-impaire On va donc montrer que $f$ est impaire.

Pour tout réel $x$ :

$f\left( - x\right)=\frac{2\times \left( - x\right)}{1+\left( - x\right)^{2}}$

Or $\left( - x\right)^{2}=x^{2}$ donc

$f\left( - x\right)=\frac{ - 2x}{1+x^{2}}$

Par ailleurs :

$- f\left(x\right)= - \frac{2x}{1+x^{2}}$

Pour tout réel $x$ , $f\left( - x\right)= - f\left(x\right)$ donc la fonction $f$ est impaire.

Exemple 3

Etudier la parité de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f : x\mapsto \frac{1+ x}{1+x^{2}}$

La courbe de la fonction $f$ donnée par la calculatrice ne présente aucune symétrie. ecran-calculatrice-fonction On va donc montrer que $f$ n'est ni paire ni impaire.

Calculons par exemple $f\left(1\right)$ et $f\left( - 1\right)$

$f\left(1\right)=\frac{2}{2}=1$ et $f\left( - 1\right)=\frac{0}{2}=0$

On a donc $f\left( - 1\right)\neq f\left(1\right)$ et $f\left( - 1\right)\neq - f\left(1\right)$

Donc $f$ n'est ni paire ni impaire.

Définition

Propriété

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Méthode

Remarques

Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

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