Il est donné à titre de complément.
Définition
Une fonction f définie sur un ensemble \mathscr D symétrique par rapport à 0 est paire si et seulement si pour tout x \in \mathscr D :
f(-x)=f(x)
Propriété
Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Définition
Une fonction f définie sur un ensemble \mathscr D symétrique par rapport à 0 est impaire si et seulement si pour tout x \in \mathscr D :
f(-x)=-f(x)
Propriété
La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Méthode
Préalable : On vérifie que l’ensemble de définition de la fonction est symétrique par rapport à 0.
C’est le cas, en particulier, pour les ensembles \mathbb{R}, \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\} et les intervalles du type \left[-a;a\right] et \left]-a;a\right[. Si l’ensemble de définition n’est pas symétrique par rapport à 0, la fonction n’est ni paire ni impaire.
- Pour montrer qu’une fonction f est paire:
- On calcule f\left(-x\right) en remplaçant x par \left(-x\right) dans l’expression de f\left(x\right).
- On montre que f\left(-x\right)=f\left(x\right)
- Pour montrer qu’une fonction f est impaire :
- On calcule f\left(-x\right) en remplaçant x par \left(-x\right) dans l’expression de f\left(x\right).
- On calcule -f\left(x\right)
- On montre que f\left(-x\right)=-f\left(x\right)
- Pour montrer qu’une fonction f n’est pas paire :
Il suffit d’un contre-exemple c’est à dire qu’il suffit de trouver un nombre a tel que f\left(-a\right)\neq f\left(a\right) - Pour montrer qu’une fonction f n’est pas impaire :
Il suffit d’un contre-exemple c’est à dire qu’il suffit de trouver un nombre a tel que f\left(-a\right)\neq -f\left(a\right)
Remarques
- Si l’énoncé ne précise pas s’il faut montrer que f est paire ou s’il faut montrer que f est impaire, il peut s’avérer utile de tracer la courbe représentative de f à la calculatrice.
si la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, la fonction est paire.
si la courbe est symétrique par rapport à l’origine, la fonction est impaire. - Une fonction peut n’être ni paire, ni impaire (c’est même le cas général ! )
- Seule la fonction nulle (x\mapsto 0) est à la fois paire et impaire.
Exemple 1
Montrer que la fonction définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\} par f : x\mapsto \frac{1+x^{2}}{x^{2}} est paire.
Pour tout réel non nul x :
f\left(-x\right)=\frac{1+\left(-x\right)^{2}}{\left(-x\right)^{2}}
Or \left(-x\right)^{2}=x^{2} donc
f\left(-x\right)=\frac{1+x^{2}}{x^{2}}
Pour tout x\in \mathbb{R}\backslash\left\{0\right\}, f\left(-x\right)=f\left(x\right) donc la fonction f est paire.
Exemple 2
Etudier la parité de la fonction définie sur \mathbb{R} par f : x\mapsto \frac{2x}{1+x^{2}}
La courbe de la fonction f donnée par la calculatrice semble symétrique par rapport à l’origine du repère.
On va donc montrer que f est impaire.
Pour tout réel x :
f\left(-x\right)=\frac{2\times \left(-x\right)}{1+\left(-x\right)^{2}}
Or \left(-x\right)^{2}=x^{2} donc
f\left(-x\right)=\frac{-2x}{1+x^{2}}
Par ailleurs :
-f\left(x\right)=-\frac{2x}{1+x^{2}}
Pour tout réel x, f\left(-x\right)=-f\left(x\right) donc la fonction f est impaire.
Exemple 3
Etudier la parité de la fonction définie sur \mathbb{R} par f : x\mapsto \frac{1+ x}{1+x^{2}}
La courbe de la fonction f donnée par la calculatrice ne présente aucune symétrie.
On va donc montrer que f n’est ni paire ni impaire.
Calculons par exemple f\left(1\right) et f\left(-1\right)
f\left(1\right)=\frac{2}{2}=1 et f\left(-1\right)=\frac{0}{2}=0
On a donc f\left(-1\right)\neq f\left(1\right) et f\left(-1\right)\neq -f\left(1\right)
Donc f n’est ni paire ni impaire.
