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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Fiche de révision BAC : les suites

  1. Comment peut-on montrer qu'une suite est croissante ? décroissante ? constante ?

  2. Qu'est-ce qu'une suite majorée ? minorée ? bornée ?

  3. Quelles méthodes peut-on utiliser pour montrer qu'une suite est convergente ?

  4. Comment montre-t-on qu'une suite est arithmétique ?

  5. Pour une suite arithmétique de raison rr, quelle formule permet de calculer unu_n en fonction de u0u_0 ? en fonction de upu_p (p∈N)(p \in \mathbb{N}) ?

  6. Que vaut la somme : 1+2+3+⋯+n1+2+3+\cdots+n ?

  7. Comment montre-t-on qu'une suite est géométrique ?

  8. Pour une suite géométrique de raison qq, quelle formule permet de calculer unu_n en fonction de u0u_0 ? en fonction de upu_p (p∈N)(p \in \mathbb{N}) ?

  9. Que vaut la somme : 1+q+q2+⋯+qn1+q+q^2+\cdots+q^n ?

  10. Quelle est (en fonction de qq) la limite de qnq^n ?

  11. Écrire un algorithme affichant les nn premiers termes d'une suite.

  12. Quelles sont les étapes d'une démonstration par récurrence ?

Réponses

  1. Comment peut-on montrer qu'une suite est croissante ? décroissante ? constante ?

    Voici 3 des principales méthodes :

    1. Calcul de un+1−unu_{n+1} - u_n.

      Si cette différence est positive pour tout entier naturel nn la suite (un)(u_n) est croissante ;

      si cette différence est négative pour tout entier naturel nn la suite (un)(u_n) est décroissante ;

      enfin, si cette différence est nulle pour tout entier naturel nn la suite (un)(u_n) est constante.

    2. Par récurrence.

      Dans ce cas, c'est la comparaison des deux premiers termes (e.g. u0u_0 et u1u_1) qui dira si la suite est croissante ou décroissante.

    3. Si la suite (un)(u_n) est définie de façon explicite par une formule du type un=f(n)u_n=f(n), on peut étudier les variations de ff sur [0 ; +∞[[0~;~+\infty[ (calcul de la dérivée f′f^{\prime}...).

  2. Qu'est-ce qu'une suite majorée ? minorée ? bornée ?

    Une suite (un)(u_n) est majorée s'il existe un réel MM tel que pour tout entier naturel nn : un⩽Mu_n \leqslant M.

    Une suite (un)(u_n) est minorée s'il existe un réel mm tel que pour tout entier naturel nn : un⩾mu_n \geqslant m.

    Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

  3. Quelles méthodes peut-on utiliser pour montrer qu'une suite est convergente ?

    Voici 3 méthodes. La plus utilisée dans les sujets du bac est la première.

    1. Suite croissante majorée ou décroissante minorée. Si une suite est croissante et majorée alors elle est convergente. De même, une suite décroissante et minorée est convergente.

    2. Théorème des gendarmes (Voir cours).

    3. Si la suite (un)(u_n) est définie de façon explicite on peut calculer la limite en utilisant les règles de calculs des limites (similaires à celles utilisées pour les fonctions).

      Dans ce cas, gardez aussi à l'esprit la formule donnant la limite de qnq^n (voir ci-dessous)

  4. Comment montre-t-on qu'une suite est arithmétique ? Pour montrer que la suite (un)(u_n) est arithmétique on calcule un+1−unu_{n+1} - u_n et on montre que le résultat est constant (indépendant de nn). Ce résultat est la raison de la suite arithmétique.

  5. Pour une suite arithmétique de raison rr, quelle formule permet de calculer unu_n en fonction de u0u_0  ? en fonction de upu_p (p∈N)(p \in \mathbb{N}) ?

    En fonction de u0 : un=u0+nru_0~:~u_n=u_0+nr

    En fonction de up : un=up+(n−p)ru_p~:~u_n=u_p+(n - p)r

  6. Que vaut la somme : 1+2+3+⋯+n1+2+3+\cdots+n ?

    1+2+3+⋯+n=n(n+1)21+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}

  7. Comment montre-t-on qu'une suite (un)(u_n) est géométrique ? On montre qu'il existe un réel qq, indépendant de nn, tel que pour tout entier naturel nn : un+1=qunu_{n+1}=qu_n. (on peut également montrer que le rapport un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n} est constant si on sait que la suite (un)(u_n) ne s'annule pas.)

  8. Pour une suite géométrique de raison qq, quelle formule permet de calculer unu_n en fonction de u0u_0 ? en fonction de upu_p (p∈N)(p \in \mathbb{N}) ? En fonction de u0 : un=u0qnu_0~:~u_n=u_0q^n En fonction de up : un=upqn−pu_p~:~u_n=u_pq^{n - p}

  9. Que vaut la somme : 1+q+q2+⋯+qn1+q+q^2+\cdots+q^n ?

    Pour tout réel q≠1q \neq 1 :

    1+q+q2+⋯+qn=1−qn+11−q1+q+q^2+\cdots+q^n =\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}

  10. Quelle est (en fonction de qq) la limite de qnq^n ?

    • si q>1 : limn→+∞qn=+∞q>1~:~\lim\limits_{n \rightarrow +\infty }q^n=+\infty ; la suite est divergente ;

    • si −1<q<1 : limn→+∞qn=0 - 1 ; la suite converge vers 0 ;

    • si q⩽−1 :q \leqslant - 1~: la suite est divergente (pas de limite) ;

    • pour q=1q=1, la suite est constante.

  11. Écrire un algorithme affichant les nn premiers termes d'une suite.

    Voir la fiche Algorithme de calcul des premiers termes d'une suite.

  12. Quelles sont les étapes d'une démonstration par récurrence ?

    • Initialisation : On montre que la propriété est vraie au premier rang (e.g. au rang 0).

    • Hérédité : On montre que si la propriété est vraie à un certain rang , alors elle est vraie au rang suivant.

    • Conclusion : On en déduit que la propriété est vraie pour tout entier naturel nn (ou pour tout entier n⩾n0n \geqslant n_0 si l'initialisation a été faite au rang n0n_0).

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