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Sujet 0 - Géométrie dans l'espace

Exercice 4

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. choisie.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition. Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Les questions sont indépendantes.

On considère le prisme droit ABFEDCGHABFEDCGH tel que AB=ADAB = AD. Sa base ABFEABFE est un trapèze rectangle en AA, vérifiant BF→=12AE→\overrightarrow{BF} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AE}.

On note II le milieu du segment [EF][EF].

On note JJ le milieu du segment [AE][AE].

On associe à ce prisme le repère orthonormé (A;i⃗,j⃗,k⃗)(A ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) tel que : i⃗=AB→\vec{i} = \overrightarrow{AB}; j⃗=AD→\vec{j} = \overrightarrow{AD}; k⃗=AJ→\vec{k} = \overrightarrow{AJ}.

Bac 2024 sujet 0 - Géométrie dans l'espace

  1. On donne les coordonnées de quatre vecteurs dans la base (i⃗,j⃗,k⃗)(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}). Lequel est un vecteur normal au plan (ABG)(ABG)?

    1. n⃗(111)\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

    2. n⃗(−111)\vec{n}\begin{pmatrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

    3. n⃗(0−11)\vec{n}\begin{pmatrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix}

    4. n⃗(001)\vec{n}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

  2. Parmi les droites suivantes, laquelle est parallèle à la droite (IJ)(IJ)?

    1. (DG)(DG)

    2. (BD)(BD)

    3. (AG)(AG)

    4. (FG)(FG)

  3. Quels vecteurs forment une base de l’espace?

    1. (AB→,CG→)(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CG})

    2. (AB→,AC→,AD→)(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})

    3. (DA→,DC→,DG→)(\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DG})

    4. (CA→,CG→,CE→)(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CG}, \overrightarrow{CE})

  4. Une décomposition du vecteur AG→\overrightarrow{AG} comme somme de plusieurs vecteurs deux à deux orthogonaux est :

    1. AG→=AB→+HG→\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{HG}

    2. AG→=AB→+AD→+AJ→\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AJ}

    3. AG→=AB→+BJ→+JG→\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BJ} + \overrightarrow{JG}

    4. AG→=AD→+DH→+HG→\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DH} + \overrightarrow{HG}

  5. Le volume du prisme droit ABFEDCGHABFEDCGH, est égal à :

    1. 58\frac{5}{8}

    2. 85\frac{8}{5}

    3. 32\frac{3}{2}

    4. 22

Corrigé

  1. Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} a comme coordonnées :

    AB→=(100) \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}

    Le vecteur AG→\overrightarrow{AG} a comme coordonnées :

    AG→=(111) \overrightarrow{AG} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}

    Le vecteur n⃗\vec{n} est normal au plan (ABG)(ABG) si et seulement s'il est orthogonal à AB→\overrightarrow{AB} et à AG→\overrightarrow{AG}.

    Montrons que le vecteur n⃗(0−11) \vec{n} \begin{pmatrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{pmatrix} (réponse c.) convient pour cela calculons les produits scalaires pour vérifier l'orthogonalité :

    AB→⋅n⃗=1×0+0×(−1)+0×1=0 \overrightarrow{AB} \cdot \vec{n} = 1 \times 0 + 0 \times ( - 1) + 0 \times 1 = 0

    AG→⋅n⃗=1×0+1×(−1)+1×1=0 \overrightarrow{AG} \cdot \vec{n} = 1 \times 0 + 1 \times ( - 1) + 1 \times 1 = 0

    Les produits scalaires étant nuls, cela confirme que n⃗\vec{n} est orthogonal à AB→\overrightarrow{AB} et à AG→\overrightarrow{AG}.

    La réponse correcte est donc la réponse c.

  2. II est le milieu du segment [EF][EF] et JJ le milieu du segment [AE][AE]. Un calcul simple des coordonnées du vecteur JI→\overrightarrow{JI} donne :

    JI→=(12012) \overrightarrow{JI} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}

    Les coordonnées du vecteur DG→\overrightarrow{DG} sont :

    DG→=(101) \overrightarrow{DG} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

    Les vecteurs JI→\overrightarrow{JI} et DG→\overrightarrow{DG} sont colinéaires, donc les droites (IJ)(IJ) et (DG)(DG) sont parallèles.

    La réponse correcte est donc la réponse a.

  3. Quels vecteurs forment une base de l’espace?

    Une base de l'espace est constituée de trois vecteurs non coplanaires.

    La proposition a. ne convient pas car il n’y a que deux vecteurs.

    La proposition b. ne convient pas car

    AC→=AB→+AD→ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}

    La proposition d. ne convient pas car

    CE→=CA→+AE→=CA→+2CG→ \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CA} + 2 \overrightarrow{CG}

    La réponse correcte est donc la réponse c..

  4. Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB}, AD→\overrightarrow{AD}, et AJ→\overrightarrow{AJ} sont deux à deux orthogonaux d'après l'énoncé.

    La réponse correcte est donc la réponse b..

  5. Le volume d'un prisme droit est donné par la formule V=Aire de la base×hauteurV = \text{Aire de la base} \times \text{hauteur}.

    La base est un trapèze rectangle avec BF=12AEBF = \frac{1}{2}AE et AEAE. La hauteur du prisme est ADAD.

    L'aire du trapèze est : 12×(AE+BF)×AB\frac{1}{2} \times (AE + BF) \times AB

    Puisque BF=12AEBF = \frac{1}{2}AE, l'aire du trapèze est : 12×32AE×AB=34AE×AB=34×2×2=32\frac{1}{2} \times \frac{3}{2}AE \times AB = \frac{3}{4}AE \times AB= \frac{3}{4} \times 2 \times 2 = \frac{3}{2}

    Et donc le volume est V=32×AD=32×1=32V = \frac{3}{2} \times AD=\frac{3}{2} \times 1 = \frac{3}{2} .

    La réponse correcte est donc la réponse c..

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