Sujet 0 - Géométrie dans l'espace
Exercice 4
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. choisie.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition. Aucune justification n’est demandée.
Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.
Les questions sont indépendantes.
On considère le prisme droit ABFEDCGH tel que AB=AD. Sa base ABFE est un trapèze rectangle en A, vérifiant BF=21AE.
On note I le milieu du segment [EF].
On note J le milieu du segment [AE].
On associe à ce prisme le repère orthonormé (A;i⃗,j⃗,k⃗) tel que : i⃗=AB; j⃗=AD; k⃗=AJ.
On donne les coordonnées de quatre vecteurs dans la base (i⃗,j⃗,k⃗). Lequel est un vecteur normal au plan (ABG)?
n⃗⎝⎛111⎠⎞
n⃗⎝⎛−111⎠⎞
n⃗⎝⎛0−11⎠⎞
n⃗⎝⎛001⎠⎞
Parmi les droites suivantes, laquelle est parallèle à la droite (IJ)?
(DG)
(BD)
(AG)
(FG)
Quels vecteurs forment une base de l’espace?
(AB,CG)
(AB,AC,AD)
(DA,DC,DG)
(CA,CG,CE)
Une décomposition du vecteur AG comme somme de plusieurs vecteurs deux à deux orthogonaux est :
AG=AB+HG
AG=AB+AD+AJ
AG=AB+BJ+JG
AG=AD+DH+HG
Le volume du prisme droit ABFEDCGH, est égal à :
85
58
23
2
Le vecteur AB a comme coordonnées :
AB=⎝⎛100⎠⎞
Le vecteur AG a comme coordonnées :
AG=⎝⎛111⎠⎞
Le vecteur n⃗ est normal au plan (ABG) si et seulement s'il est orthogonal à AB et à AG.
Montrons que le vecteur
n⃗⎝⎛0−11⎠⎞ (réponse c.) convient pour cela calculons les produits scalaires pour vérifier l'orthogonalité :
AB⋅n⃗=1×0+0×(−1)+0×1=0
AG⋅n⃗=1×0+1×(−1)+1×1=0
Les produits scalaires étant nuls, cela confirme que n⃗ est orthogonal à AB et à AG.
La réponse correcte est donc la réponse c.
I est le milieu du segment [EF] et J le milieu du segment [AE]. Un calcul simple des coordonnées du vecteur JI donne :
JI=⎝⎛21021⎠⎞
Les coordonnées du vecteur DG sont :
DG=⎝⎛101⎠⎞
Les vecteurs JI et DG sont colinéaires, donc les droites (IJ) et (DG) sont parallèles.
La réponse correcte est donc la réponse a.
Quels vecteurs forment une base de l’espace?
Une base de l'espace est constituée de trois vecteurs non coplanaires.
La proposition a. ne convient pas car il n’y a que deux vecteurs.
La proposition b. ne convient pas car
AC=AB+AD
La proposition d. ne convient pas car
CE=CA+AE=CA+2CG
La réponse correcte est donc la réponse c..
Les vecteurs AB, AD, et AJ sont deux à deux orthogonaux d'après l'énoncé.
La réponse correcte est donc la réponse b..
Le volume d'un prisme droit est donné par la formule V=Aire de la base×hauteur.
La base est un trapèze rectangle avec BF=21AE et AE. La hauteur du prisme est AD.
L'aire du trapèze est : 21×(AE+BF)×AB
Puisque BF=21AE, l'aire du trapèze est : 21×23AE×AB=43AE×AB=43×2×2=23
Et donc le volume est V=23×AD=23×1=23 .
La réponse correcte est donc la réponse c..
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