Suites - Bac S Liban 2013

Exercice 4 (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite numérique $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par

$\left\{ \begin{matrix} v_{0}=1 \\ v_{n+1} =\frac{9}{6 - v_{n}}\end{matrix}\right.$

Partie A

On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ donné, tous les termes de la suite, du rang $0$ au rang $n$ .

Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

Algorithme N° 1
Variables : $v$ est un réel $i$ et $n$ sont des entiers naturels Début de l'algorithme : Lire $n$ $v$ prend la valeur $1$ Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire $v$ prend la valeur $\frac{9}{6 - v}$ Fin pour Afficher $v$ Fin algorithme

Algorithme N° 2
Variables : $v$ est un réel $i$ et $n$ sont des entiers naturels Début de l'algorithme : Lire $n$ Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire $v$ prend la valeur $1$ Afficher $v$ $v$ prend la valeur $\frac{9}{6 - v}$ Fin pour Fin algorithme

Algorithme N° 3
Variables : $v$ est un réel $i$ et $n$ sont des entiers naturels Début de l'algorithme : Lire $n$ $v$ prend la valeur $1$ Pour $i$ variant de $1$ à $n$ faire Afficher $v$ $v$ prend la valeur $\frac{9}{6 - v}$ Fin pour Fin algorithme
Pour $n=10$ on obtient l'affichage suivant :
1 1,800 2,143 2,333 2,455 2,538 2,600 2,647 2,684 2,714

Pour $n=100$ , les derniers termes affichés sont :
2,967 2,968 2,968 2,968 2,969 2,969 2,969 2,970 2,970 2,970

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $\left(v_{n}\right)$ ?
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $0 < v_{n} < 3$ .
2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $v_{n+1} - v_{n}=\frac{\left(3 - v_{n} \right)^{2}}{6 - v_{n}}$ .
  
  La suite $\left(v_{n}\right)$ est-elle monotone ?
3. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente.

Partie B

Recherche de la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$

On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par

$w_{n}=\frac{1}{v_{n} - 3}.$

Démontrer que $\left(w_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison $- \frac{1}{3}$
En déduire l'expression de $\left(w_{n}\right)$ , puis celle de $\left(v_{n}\right)$ en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ .

Corrigé

Solution rédigée par Paki

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