1. Angle dans le cercle trigonométrique
Dans tout le chapitre, le plan P est muni d’un repère orthonormé \left(O ; I , J\right)
Définition
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1 orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (aussi appelé « sens direct » ou « sens trigonométrique»).
Mesure d’un angle en radians
Dans le plan P muni d’un repère orthonormé \left(O ; I , J\right), on trace le cercle trigonométrique et la droite d’équation x=1 qui est tangente à ce cercle.
Soit N un point du cercle. Pour mesurer en radians l’angle \widehat{ION} on mesure la longueur de l’arc \left(IN\right).
Pour cela on « enroule » la tangente sur le cercle trigonométrique et on fait correspondre au point N un point M situé sur cette tangente.
L’ordonnée de M est une mesure en radians de l’angle \widehat{ION} (sur la figure ci-dessus cette mesure vaut environ 1,9 radians).
Cette mesure n’est pas unique.En effet, si l’on poursuit « l’enroulement » de la droite sur le cercle trigonométrique, on voit que plusieurs points de cette droite vont venir se positionner sur le point N.
Il en est de même si l’on « enroule » la droite dans l’autre sens ; dans ce cas on obtiendra des mesures négatives de l’angle.
Propriété
Chaque angle possède une infinité de mesures (en radians) qui diffèrent d’un multiple de 2\pi .
Remarques
Cela signifie que si x est une mesure d’un angle, les autres mesures sont x+2\pi , x+4\pi , etc. et x-2\pi , x-4\pi , etc.
Ces différentes mesures s’écrivent donc x+2k\pi avec k \in \mathbb{Z}
Mesures d’angles à retenir
Mesures d’angles remarquables
2. Sinus et cosinus
Définition
Soit N un point du cercle trigonométrique. On note x une mesure de l’angle \widehat{ION}.
On appelle cosinus de x, noté \cos x l’abscisse du point N.
On appelle sinus de x, noté \sin x l’ordonnée du point N
Remarque
Ces notions généralisent celles vues au collège.
En effet si l’angle \widehat{ION} est aigu :
Le triangle OAN est rectangle en A et ON=1 car \left[ON\right] est un rayon du cercle; par conséquent :
\cos\left(\widehat{ION}\right)=\cos\left(\widehat{AON}\right)=\frac{OA}{ON}=\frac{OA}{1}=OA
\sin\left(\widehat{ION}\right)=\sin\left(\widehat{AON}\right)=\frac{AN}{ON}=\frac{AN}{1}=AN
Valeurs de sinus et de cosinus à retenir
| x | 0 | \frac{\pi }{6} | \frac{\pi }{4} | \frac{\pi }{3} | \frac{\pi }{2} | \frac{2\pi }{3} | \frac{3\pi }{4} | \frac{5\pi }{6} | \pi |
| \cos x | 1 | \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{1}{2} | 0 | -\frac{1}{2} | -\frac{\sqrt{2}}{2} | -\frac{\sqrt{3}}{2} | -1 |
| \sin x | 0 | \frac{1}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{\sqrt{3}}{2} | 1 | \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{1}{2} | 0 |
| x | -\frac{\pi }{6} | -\frac{\pi }{4} | -\frac{\pi }{3} | -\frac{\pi }{2} | -\frac{2\pi }{3} | -\frac{3\pi }{4} | -\frac{5\pi }{6} |
| \cos x | \frac{\sqrt{3}}{2} | \frac{\sqrt{2}}{2} | \frac{1}{2} | 0 | -\frac{1}{2} | -\frac{\sqrt{2}}{2} | -\frac{\sqrt{3}}{2} |
| \sin x | -\frac{1}{2} | -\frac{\sqrt{2}}{2} | -\frac{\sqrt{3}}{2} | -1 | -\frac{\sqrt{3}}{2} | -\frac{\sqrt{2}}{2} | -\frac{1}{2} |
Propriétés
Pour tout réel x :
-1 \leqslant \cos x \leqslant 1
-1 \leqslant \sin x \leqslant 1
\left(\cos x\right)^2 + \left(\sin x\right)^2 = 1
Remarque
On écrit souvent \cos^2 x et \sin^2 x à la place de \left(\cos x\right)^2 et \left(\sin x\right)^2 afin de simplifier les notations.
La dernière propriété s’écrit alors :
\cos^2 x + \sin^2 x = 1
