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Seconde

Cours

Trigonométrie

1. Angle dans le cercle trigonométrique

Dans tout le chapitre, le plan P est muni d'un repère orthonormé \left(O ; I , J\right)

Définition

On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1 orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (aussi appelé « sens direct » ou « sens trigonométrique»).

cercle trigonométrique

Mesure d'un angle en radians

Dans le plan P muni d'un repère orthonormé \left(O ; I , J\right), on trace le cercle trigonométrique et la droite d'équation x=1 qui est tangente à ce cercle.

cercle trigonométrique

Soit N un point du cercle. Pour mesurer en radians l'angle \widehat{ION} on mesure la longueur de l'arc \left(IN\right).

longueur d'un arc en radians

Pour cela on « enroule » la tangente sur le cercle trigonométrique et on fait correspondre au point N un point M situé sur cette tangente.

mesure d'un angle

L'ordonnée de M est une mesure en radians de l'angle \widehat{ION} (sur la figure ci-dessus cette mesure vaut environ 1,9 radians).

Cette mesure n'est pas unique.En effet, si l'on poursuit « l'enroulement » de la droite sur le cercle trigonométrique, on voit que plusieurs points de cette droite vont venir se positionner sur le point N.

Il en est de même si l'on « enroule » la droite dans l'autre sens ; dans ce cas on obtiendra des mesures négatives de l'angle.

mesures négatives d'un angle

Propriété

Chaque angle possède une infinité de mesures (en radians) qui diffèrent d'un multiple de 2\pi .

Remarques

  • Cela signifie que si x est une mesure d'un angle, les autres mesures sont x+2\pi , x+4\pi , etc. et x-2\pi , x-4\pi , etc.

  • Ces différentes mesures s'écrivent donc x+2k\pi avec k \in \mathbb{Z}

Mesures d'angles à retenir

Mesures d'angles remarquables

Mesures d'angles remarquables

2. Sinus et cosinus

Définition

Soit N un point du cercle trigonométrique. On note x une mesure de l'angle \widehat{ION}.

On appelle cosinus de x, noté \cos x l'abscisse du point N.

On appelle sinus de x, noté \sin x l'ordonnée du point N

sinus et cosinus d'un angle

Remarque

Ces notions généralisent celles vues au collège.

En effet si l'angle \widehat{ION} est aigu :

sinus et cosinus d'un angle aigu

Le triangle OAN est rectangle en A et ON=1 car \left[ON\right] est un rayon du cercle; par conséquent :

\cos\left(\widehat{ION}\right)=\cos\left(\widehat{AON}\right)=\frac{OA}{ON}=\frac{OA}{1}=OA

\sin\left(\widehat{ION}\right)=\sin\left(\widehat{AON}\right)=\frac{AN}{ON}=\frac{AN}{1}=AN

Valeurs de sinus et de cosinus à retenir

Valeurs de sinus et de cosinus

x 0 \frac{\pi }{6} \frac{\pi }{4} \frac{\pi }{3} \frac{\pi }{2} \frac{2\pi }{3} \frac{3\pi }{4} \frac{5\pi }{6} \pi
\cos x 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0 -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} -1
\sin x 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0
x -\frac{\pi }{6} -\frac{\pi }{4} -\frac{\pi }{3} -\frac{\pi }{2} -\frac{2\pi }{3} -\frac{3\pi }{4} -\frac{5\pi }{6}
\cos x \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0 -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}
\sin x -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} -1 -\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{1}{2}

Propriétés

Pour tout réel x :

  • -1 \leqslant \cos x \leqslant 1

  • -1 \leqslant \sin x \leqslant 1

  • \left(\cos x\right)^2 + \left(\sin x\right)^2 = 1

Remarque

On écrit souvent \cos^2 x et \sin^2 x à la place de \left(\cos x\right)^2 et \left(\sin x\right)^2 afin de simplifier les notations.

La dernière propriété s'écrit alors :

\cos^2 x + \sin^2 x = 1

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Dans ce chapitre...

Exercices

  • assez facile Calcul du sinus connaissant le cosinus
  • assez difficile Calcul de cos(15°)

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