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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Sujet 0 - Probabilités

Exercice 3

Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices : le premier est noté sur deux points, le deuxième sur huit points.

Partie I

Le premier exercice est constitué de deux questions Q1Q_1 et Q2Q_2. Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point.

On considère que :

On prend un candidat au hasard et on note :

On note A¯\bar{A} et B¯\bar{B} les évènements contraires de AA et de BB.

  1. Recopier et compléter les pointillés de l’arbre pondéré ci-dessous.

 bac 2024 sujet 0 arbre de probabilité

  1. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1Q_1 et Q2Q_2.

  2. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2Q_2.

  3. On note :

    • X1X_1 la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1Q_1;

    • X2X_2 la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2Q_2;

    • XX la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l’exercice, c’est-à-dire X=X1+X2X = X_1 + X_2.

  4. Déterminer l’espérance de X1X_1 et de X2X_2. En déduire l’espérance de XX. Donner une interprétation de l’espérance de XX dans le contexte de l’exercice.

  5. On souhaite déterminer la variance de XX.

    1. Déterminer P(X=0)P(X = 0) et P(X=2)P(X = 2). En déduire P(X=1)P(X = 1).

    2. Montrer que la variance de XX vaut 0,57.

    3. A-t-on V(X)=V(X1)+V(X2)V(X) = V(X_1) + V(X_2)?
      Est-ce surprenant ?

Partie II

Le deuxième exercice est constitué de huit questions indépendantes. Chaque question est notée sur un point.
Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte et une absence de réponse rapporte zéro point.

Les huit questions sont de même difficulté : pour chacune des questions, un candidat a une probabilité 34\frac{3}{4} de répondre correctement, indépendamment des autres questions.

On note YY la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au deuxième exercice, c’est-à-dire le nombre de bonnes réponses.

  1. Justifier que YY suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

  2. Donner la valeur exacte de P(Y=8)P(Y = 8).

  3. Donner l’espérance et la variance de YY.

Partie III

On suppose que les deux variables aléatoires XX et YY sont indépendantes. On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l’examen : Z=X+YZ = X + Y.

  1. Calculer l’espérance et la variance de ZZ.

  2. Soit nn un nombre entier strictement positif. Pour ii entier variant de 1 à nn, on note ZiZ_i la variable aléatoire qui, à un échantillon de nn élèves, associe la note de l’élève numéro ii à l’examen. On admet que les variables aléatoires Z1,Z2,,ZnZ_1, Z_2, \ldots, Z_n sont identiques à ZZ et indépendantes. On note MnM_n la variable aléatoire qui, à un échantillon de nn élèves, associe la moyenne de leurs nn notes, c’est-à-dire :

    Mn=Z1+Z2+×+Znn M_n = \frac{Z_1 + Z_2 + \times + Z_n}{n}

    1. Quelle est l’espérance de MnM_n ?

    2. Quelles sont les valeurs de nn telles que l’écart type de MnM_n soit inférieur ou égal à 0,5?

    3. Pour les valeurs trouvées en b., montrer que la probabilité que 6,3Mn8,36,3 \leqslant M_n \leqslant 8,3 est supérieure ou égale à 0,75.

Corrigé

  1. bac 2024 sujet 0 arbre de probabilité

  2. La probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions est :

    P(AB)=P(A)×PA(B) P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)

    Substituons les valeurs :

    P(AB)=0,8×0,6=0,48 P(A \cap B) = 0,8 \times 0,6 = 0,48

  3. Pour trouver P(B)P(B), nous utilisons la formule des probabilités totales :

    P(B)=P(BA)+P(BA¯) P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A})

    P(B)=P(A)×PA(B)+P(A¯)×PA¯(B) P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B)

    Substituons les valeurs :

    P(B)=0,8×0,6+0,2×0,1=0,48+0,02=0,5 P(B) = 0,8 \times 0,6 + 0,2 \times 0,1 = 0,48 + 0,02 = 0,5

  4. Pour X1X_1, la probabilité que le candidat obtienne 1 point est P(A)P(A), et 0 point est P(A¯)P(\bar{A}) :

    E(X1)=1×P(A)+0×P(A¯)=1×0,8+0×0,2=0,8 E(X_1) = 1 \times P(A) + 0 \times P(\bar{A}) = 1 \times 0,8 + 0 \times 0,2 = 0,8

    Pour X2X_2, la probabilité que le candidat obtienne 1 point est P(B)P(B), et 0 point est P(B¯)P(\bar{B}) :

    E(X2)=1×P(B)+0×P(B¯)=1×0,5+0×0,5=0,5 E(X_2) = 1 \times P(B) + 0 \times P(\bar{B}) = 1 \times 0,5 + 0 \times 0,5 = 0,5

    L’espérance de X=X1+X2X = X_1 + X_2 est :

    E(X)=E(X1)+E(X2)=0,8+0,5=1,3 E(X) = E(X_1) + E(X_2) = 0,8 + 0,5 = 1,3

    Interprétation : En moyenne, un candidat obtient une note de 1,3 points sur 2 à l’exercice.

    1. P(X=0)P(X = 0) est la probabilité que le candidat échoue aux deux questions :

      P(X=0)=P(A¯B¯)=P(A¯)×P(B¯A¯)=0,2×0,9=0,18 P(X = 0) = P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}|\bar{A}) = 0,2 \times 0,9 = 0,18

      P(X=2)P(X = 2) est la probabilité que le candidat réussisse les deux questions :

      P(X=2)=P(AB)=0,48 P(X = 2) = P(A \cap B) = 0,48

      P(X=1)P(X = 1) est la probabilité que le candidat réussisse une question et échoue à l'autre.

      P(X=1)=1P(X=0)P(X=2) P(X = 1) = 1 - P(X = 0) - P(X = 2)

      P(X=1)=10,180,48=0,34 P(X = 1) = 1 - 0,18 - 0,48 = 0,34

    2. La variance de XX se calcule à partir de la formule :

      V(X)=E(X2)[E(X)]2 V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

      Calculons E(X2)E(X^2) :

      E(X2)=02×P(X=0)+12×P(X=1)+22×P(X=2) E(X^2) = 0^2 \times P(X = 0) + 1^2 \times P(X = 1) + 2^2 \times P(X = 2)

      E(X2)=0×0,18+1×0,34+4×0,48 E(X^2) = 0 \times 0,18 + 1 \times 0,34 + 4 \times 0,48

      E(X2)=0+0,34+1,92=2,26 E(X^2) = 0 + 0,34 + 1,92 = 2,26

      Sachant que E(X)=1,3E(X) = 1,3, calculons [E(X)]2[E(X)]^2 :

      [E(X)]2=1,32=1,69 [E(X)]^2 = 1,3^2 = 1,69

      Enfin, calculons V(X)V(X) :

      V(X)=2,261,69=0,57 V(X) = 2,26 - 1,69 = 0,57

    3. Calculons les variances de X1X_1 et X2X_2.

      Variance de X1X_1 :

      V(X1)=E(X12)[E(X1)]2 V(X_1) = E(X_1^2) - [E(X_1)]^2

      Sachant que X1X_1 ne peut prendre que les valeurs 0 et 1 :

      E(X12)=02×P(X1=0)+12×P(X1=1)=0×0,2+1×0,8=0,8 E(X_1^2) = 0^2 \times P(X_1 = 0) + 1^2 \times P(X_1 = 1) = 0 \times 0,2 + 1 \times 0,8 = 0,8

      [E(X1)]2=0,82=0,64 [E(X_1)]^2 = 0,8^2 = 0,64

      V(X1)=0,80,64=0,16 V(X_1) = 0,8 - 0,64 = 0,16

      Variance de X2X_2 :

      V(X2)=E(X22)[E(X2)]2 V(X_2) = E(X_2^2) - [E(X_2)]^2

      Sachant que X2X_2 ne peut prendre que les valeurs 0 et 1 :

      E(X22)=02×P(X2=0)+12×P(X2=1)=0×0,5+1×0,5=0,5 E(X_2^2) = 0^2 \times P(X_2 = 0) + 1^2 \times P(X_2 = 1) = 0 \times 0,5 + 1 \times 0,5 = 0,5

      [E(X2)]2=0,52=0,25 [E(X_2)]^2 = 0,5^2 = 0,25

      V(X2)=0,50,25=0,25 V(X_2) = 0,5 - 0,25 = 0,25

      On remarque que V(X)V(X1)+V(X2)V(X) \neq V(X_1) + V(X_2) ce qui est logique et signifie que les variables aléatoires X1 X_1 et X2 X_2 ne sont pas indépendantes.

Partie II

  1. Pour qu'une variable aléatoire suive une loi binomiale, les conditions suivantes doivent être satisfaites :

    • Il y a un nombre fixe d'essais indépendants, noté nn. Chaque essai a deux issues possibles : succès (bonne réponse) ou échec (mauvaise réponse ou absence de réponse).

    • Les essais sont identiques et indépendants.

    • La variable aléatoire comptabilise le nombre de succès

    Dans notre cas :

    • Le nombre de questions est n=8n = 8, donc il y a 8 essais.et chaque question a deux issues possibles : une bonne réponse (succès) ou une mauvaise réponse/absence de réponse (échec).
      La probabilité de succès (répondre correctement) est p=34p = \frac{3}{4}.

    • Les questions sont indépendantes.

    • La note comptabilise le nombre de succès

    Ainsi, YY suit une loi binomiale de paramètres n=8n = 8 et p=34p = \frac{3}{4}.

  2. La probabilité que le candidat réponde correctement à toutes les 8 questions (c'est-à-dire que Y=8Y = 8) est donnée par la formule de la loi binomiale :

    P(Y=k)=(nk)pk(1p)nk P(Y = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}

    Pour k=8k = 8, n=8n = 8 et p=34p = \frac{3}{4}, nous avons :

    P(Y=8)=(88)(34)8(134)88 P(Y = 8) = \binom{8}{8} \left( \frac{3}{4} \right)^8 \left( 1 - \frac{3}{4} \right)^{8 - 8}

    P(Y=8)=1×(34)8×1 P(Y = 8) = 1 \times \left( \frac{3}{4} \right)^8 \times 1

    P(Y=8)=(34)8 P(Y = 8) = \left( \frac{3}{4} \right)^8

  3. Pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale YY de paramètres n n et p p , l'espérance E(Y)E(Y) et la variance V(Y)V(Y) sont données par les formules suivantes :

    E(Y)=n×p E(Y) = n \times p

    V(Y)=n×p×(1p) V(Y) = n \times p \times (1 - p)

    Dans notre cas, n=8n = 8 et p=34p = \frac{3}{4}.

    Calculons l'espérance :

    E(Y)=8×34=6 E(Y) = 8 \times \frac{3}{4} = 6

    Calculons la variance :

    V(Y)=8×34×(134) V(Y) = 8 \times \frac{3}{4} \times \left(1 - \frac{3}{4}\right)

    V(Y)=8×34×14 V(Y) = 8 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4}

    V(Y)=8×316=1,5 V(Y) = 8 \times \frac{3}{16} = 1,5

    Donc, l'espérance de YY est 6 et la variance de YY est 1,5.

Partie III

  1. Puisque Z=X+YZ = X + Y :

    E(Z)=E(X)+E(Y) E(Z) = E(X) + E(Y)

    De plus, comme XX et YY sont indépendantes :

    V(Z)=V(X)+V(Y) V(Z) = V(X) + V(Y)

    De la Partie I, nous avons :

    E(X)=1,3etV(X)=0,57 E(X) = 1,3 \quad \text{et} \quad V(X) = 0,57

    De la Partie II, nous avons :

    E(Y)=6etV(Y)=1,5 E(Y) = 6 \quad \text{et} \quad V(Y) = 1,5

    Calculons l'espérance de ZZ :

    E(Z)=E(X)+E(Y)=1,3+6=7,3 E(Z) = E(X) + E(Y) = 1,3 + 6 = 7,3

    Calculons la variance de ZZ :

    V(Z)=V(X)+V(Y)=0,57+1,5=2,07 V(Z) = V(X) + V(Y) = 0,57 + 1,5 = 2,07

    1. L'espérance de la moyenne de nn variables identiques et indépendantes est donnée par :

      E(Mn)=E(1ni=1nZi) E(M_n) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Z_i \right)

      Par linéarité de l'espérance :

      E(Mn)=1ni=1nE(Zi) E(M_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(Z_i)

      Puisque ZiZ_i ont toutes la même espérance E(Z)E(Z) :

      E(Mn)=1n×n×E(Z)=E(Z) E(M_n) = \frac{1}{n} \times n \times E(Z) = E(Z)

      Donc :

      E(Mn)=7,3 E(M_n) = 7,3

    2. L'écart type de MnM_n est donné par :

      σ(Mn)=V(Mn) \sigma(M_n) = \sqrt{V(M_n)}

      La variance de MnM_n est :

      V(Mn)=V(1ni=1nZi) V(M_n) = V\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Z_i \right)

      Par indépendance des ZiZ_i :

      V(Mn)=1n2i=1nV(Zi) V(M_n) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} V(Z_i)

      Puisque ZiZ_i ont toutes la même variance V(Z)V(Z) :

      V(Mn)=1n2×n×V(Z)=V(Z)n V(M_n) = \frac{1}{n^2} \times n \times V(Z) = \frac{V(Z)}{n}

      Donc :

      σ(Mn)=V(Z)n \sigma(M_n) = \sqrt{\frac{V(Z)}{n}}

      Nous voulons que cet écart type soit inférieur ou égal à 0,5 :

      V(Z)n0,5 \sqrt{\frac{V(Z)}{n}} \leqslant 0,5

      Élevons au carré :

      V(Z)n0,25 \frac{V(Z)}{n} \leqslant 0,25

      nV(Z)0,25=2,070,25=8,28 n \geqslant \frac{V(Z)}{0,25} = \frac{2,07}{0,25} = 8,28

      Comme nn doit être un entier strictement positif, les valeurs possibles de nn sont :

      n9 n \geqslant 9

    3. Nous allons utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Cette inégalité nous dit que pour toute variable aléatoire XX avec espérance μ\mu et variance σ2\sigma^2,

      P(Xμkσ)1k2 P(|X - \mu| \geqslant k\sigma) \leqslant \frac{1}{k^2}

      Pour MnM_n, nous avons μ=7,3\mu = 7,3 et σ2=2,07n\sigma^2 = \frac{2,07}{n}. Nous voulons trouver la probabilité que MnM_n soit dans l'intervalle [6,3,8,3][6,3, 8,3]. Cela signifie que nous cherchons P(6,3Mn8,3)P(6,3 \leqslant M_n \leqslant 8,3).

      P(6,3Mn8,3)=P(Mn7,31) P(6,3 \leqslant M_n \leqslant 8,3) = P(|M_n - 7,3| \leqslant 1)

      Nous avons σ(Mn)=2,07n\sigma(M_n) = \sqrt{\frac{2,07}{n}}.

      Utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

      P(Mn7,31)σ2(Mn)12=2,07n P(|M_n - 7,3| \geqslant 1) \leqslant \frac{\sigma^2(M_n)}{1^2} = \frac{2,07}{n}

      Pour n9n \geqslant 9, nous avons :

      P(Mn7,31)2,0790,23 P(|M_n - 7,3| \geqslant 1) \leqslant \frac{2,07}{9} \approx 0,23

      En passant à l'événement contraire, on obtient :

      P(Mn7,3<1)=1P(Mn7,31) P(|M_n - 7,3| < 1) = 1 - P(|M_n - 7,3| \geqslant 1)

      P(Mn7,3<1)10,23=0,77 P(|M_n - 7,3| < 1) \geqslant 1 - 0,23 = 0,77

      Ainsi, pour n9n \geqslant 9, la probabilité que 6,3Mn8,36,3 \leqslant M_n \leqslant 8,3 est supérieure ou égale à 0,75.