Sujet 0 - Probabilités
Exercice 3
Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices : le premier est noté sur deux points, le deuxième sur huit points.
Partie I
Le premier exercice est constitué de deux questions et . Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point.
On considère que :
Un candidat pris au hasard a une probabilité 0,8 de répondre correctement à la question .
Si le candidat répond correctement à , il a une probabilité 0,6 de répondre correctement à ; s’il ne répond pas correctement à , il a une probabilité 0,1 de répondre correctement à .
On prend un candidat au hasard et on note :
l’évènement : « le candidat répond correctement à la question »;
l’évènement : « le candidat répond correctement à la question ».
On note et les évènements contraires de et de .
Recopier et compléter les pointillés de l’arbre pondéré ci-dessous.
Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions et .
Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question .
On note :
la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question ;
la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question ;
la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l’exercice, c’est-à-dire .
Déterminer l’espérance de et de . En déduire l’espérance de . Donner une interprétation de l’espérance de dans le contexte de l’exercice.
On souhaite déterminer la variance de .
Déterminer et . En déduire .
Montrer que la variance de vaut 0,57.
A-t-on ?
Est-ce surprenant ?
Partie II
Le deuxième exercice est constitué de huit questions indépendantes. Chaque question est notée sur un point.
Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse incorrecte et une absence de réponse rapporte zéro point.
Les huit questions sont de même difficulté : pour chacune des questions, un candidat a une probabilité de répondre correctement, indépendamment des autres questions.
On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au deuxième exercice, c’est-à-dire le nombre de bonnes réponses.
Justifier que suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Donner la valeur exacte de .
Donner l’espérance et la variance de .
Partie III
On suppose que les deux variables aléatoires et sont indépendantes. On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note totale à l’examen : .
Calculer l’espérance et la variance de .
Soit un nombre entier strictement positif. Pour entier variant de 1 à , on note la variable aléatoire qui, à un échantillon de élèves, associe la note de l’élève numéro à l’examen. On admet que les variables aléatoires sont identiques à et indépendantes. On note la variable aléatoire qui, à un échantillon de élèves, associe la moyenne de leurs notes, c’est-à-dire :
Quelle est l’espérance de ?
Quelles sont les valeurs de telles que l’écart type de soit inférieur ou égal à 0,5?
Pour les valeurs trouvées en b., montrer que la probabilité que est supérieure ou égale à 0,75.
Corrigé
La probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions est :
Substituons les valeurs :
Pour trouver , nous utilisons la formule des probabilités totales :
Substituons les valeurs :
Pour , la probabilité que le candidat obtienne 1 point est , et 0 point est :
Pour , la probabilité que le candidat obtienne 1 point est , et 0 point est :
L’espérance de est :
Interprétation : En moyenne, un candidat obtient une note de 1,3 points sur 2 à l’exercice.
est la probabilité que le candidat échoue aux deux questions :
est la probabilité que le candidat réussisse les deux questions :
est la probabilité que le candidat réussisse une question et échoue à l'autre.
La variance de se calcule à partir de la formule :
Calculons :
Sachant que , calculons :
Enfin, calculons :
Calculons les variances de et .
Variance de :
Sachant que ne peut prendre que les valeurs 0 et 1 :
Variance de :
Sachant que ne peut prendre que les valeurs 0 et 1 :
On remarque que ce qui est logique et signifie que les variables aléatoires et ne sont pas indépendantes.
Partie II
Pour qu'une variable aléatoire suive une loi binomiale, les conditions suivantes doivent être satisfaites :
Il y a un nombre fixe d'essais indépendants, noté . Chaque essai a deux issues possibles : succès (bonne réponse) ou échec (mauvaise réponse ou absence de réponse).
Les essais sont identiques et indépendants.
La variable aléatoire comptabilise le nombre de succès
Dans notre cas :
Le nombre de questions est , donc il y a 8 essais.et chaque question a deux issues possibles : une bonne réponse (succès) ou une mauvaise réponse/absence de réponse (échec).
La probabilité de succès (répondre correctement) est .Les questions sont indépendantes.
La note comptabilise le nombre de succès
Ainsi, suit une loi binomiale de paramètres et .
La probabilité que le candidat réponde correctement à toutes les 8 questions (c'est-à-dire que ) est donnée par la formule de la loi binomiale :
Pour , et , nous avons :
Pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres et , l'espérance et la variance sont données par les formules suivantes :
Dans notre cas, et .
Calculons l'espérance :
Calculons la variance :
Donc, l'espérance de est 6 et la variance de est 1,5.
Partie III
Puisque :
De plus, comme et sont indépendantes :
De la Partie I, nous avons :
De la Partie II, nous avons :
Calculons l'espérance de :
Calculons la variance de :
L'espérance de la moyenne de variables identiques et indépendantes est donnée par :
Par linéarité de l'espérance :
Puisque ont toutes la même espérance :
Donc :
L'écart type de est donné par :
La variance de est :
Par indépendance des :
Puisque ont toutes la même variance :
Donc :
Nous voulons que cet écart type soit inférieur ou égal à 0,5 :
Élevons au carré :
Comme doit être un entier strictement positif, les valeurs possibles de sont :
Nous allons utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Cette inégalité nous dit que pour toute variable aléatoire avec espérance et variance ,
Pour , nous avons et . Nous voulons trouver la probabilité que soit dans l'intervalle . Cela signifie que nous cherchons .
Nous avons .
Utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
Pour , nous avons :
En passant à l'événement contraire, on obtient :
Ainsi, pour , la probabilité que est supérieure ou égale à 0,75.