1. 

2. La probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions est :

   $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$

   Substituons les valeurs :

   $P(A \cap B) = 0,8 \times 0,6 = 0,48$

3. Pour trouver $P(B)$, nous utilisons la formule des probabilités totales :

   $P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A})$

   $P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\bar{A}) \times P_{\bar{A}}(B)$

   Substituons les valeurs :

   $P(B) = 0,8 \times 0,6 + 0,2 \times 0,1 = 0,48 + 0,02 = 0,5$

4. Pour $X_1$, la probabilité que le candidat obtienne 1 point est $P(A)$, et 0 point est $P(\bar{A})$ :

   $E(X_1) = 1 \times P(A) + 0 \times P(\bar{A}) = 1 \times 0,8 + 0 \times 0,2 = 0,8$

   Pour $X_2$, la probabilité que le candidat obtienne 1 point est $P(B)$, et 0 point est $P(\bar{B})$ :

   $E(X_2) = 1 \times P(B) + 0 \times P(\bar{B}) = 1 \times 0,5 + 0 \times 0,5 = 0,5$

   L’espérance de $X = X_1 + X_2$ est :

   $E(X) = E(X_1) + E(X_2) = 0,8 + 0,5 = 1,3$

   Interprétation : En moyenne, un candidat obtient une note de 1,3 points sur 2 à l’exercice.

5. 1. $P(X = 0)$ est la probabilité que le candidat échoue aux deux questions :

      $P(X = 0) = P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}|\bar{A}) = 0,2 \times 0,9 = 0,18$

      $P(X = 2)$ est la probabilité que le candidat réussisse les deux questions :

      $P(X = 2) = P(A \cap B) = 0,48$

      $P(X = 1)$ est la probabilité que le candidat réussisse une question et échoue à l'autre.

      $P(X = 1) = 1 - P(X = 0) - P(X = 2)$

      $P(X = 1) = 1 - 0,18 - 0,48 = 0,34$

   2. La variance de $X$ se calcule à partir de la formule :

      $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

      Calculons $E(X^2)$ :

      $E(X^2) = 0^2 \times P(X = 0) + 1^2 \times P(X = 1) + 2^2 \times P(X = 2)$

      $E(X^2) = 0 \times 0,18 + 1 \times 0,34 + 4 \times 0,48$

      $E(X^2) = 0 + 0,34 + 1,92 = 2,26$

      Sachant que $E(X) = 1,3$, calculons $[E(X)]^2$ :

      $[E(X)]^2 = 1,3^2 = 1,69$

      Enfin, calculons $V(X)$ :

      $V(X) = 2,26 - 1,69 = 0,57$

   3. Calculons les variances de $X_1$ et $X_2$.

      Variance de $X_1$ :

      $V(X_1) = E(X_1^2) - [E(X_1)]^2$

      Sachant que $X_1$ ne peut prendre que les valeurs 0 et 1 :

      $E(X_1^2) = 0^2 \times P(X_1 = 0) + 1^2 \times P(X_1 = 1) = 0 \times 0,2 + 1 \times 0,8 = 0,8$

      $[E(X_1)]^2 = 0,8^2 = 0,64$

      $V(X_1) = 0,8 - 0,64 = 0,16$

      Variance de $X_2$ :

      $V(X_2) = E(X_2^2) - [E(X_2)]^2$

      Sachant que $X_2$ ne peut prendre que les valeurs 0 et 1 :

      $E(X_2^2) = 0^2 \times P(X_2 = 0) + 1^2 \times P(X_2 = 1) = 0 \times 0,5 + 1 \times 0,5 = 0,5$

      $[E(X_2)]^2 = 0,5^2 = 0,25$

      $V(X_2) = 0,5 - 0,25 = 0,25$

      On remarque que $V(X) \neq V(X_1) + V(X_2)$ ce qui est logique et signifie que les variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ ne sont pas indépendantes.

Partie II

1. Pour qu'une variable aléatoire suive une loi binomiale, les conditions suivantes doivent être satisfaites :

   • Il y a un nombre fixe d'essais indépendants, noté $n$. Chaque essai a deux issues possibles : succès (bonne réponse) ou échec (mauvaise réponse ou absence de réponse).

   • Les essais sont identiques et indépendants.

   • La variable aléatoire comptabilise le nombre de succès

   Dans notre cas :

   • Le nombre de questions est $n = 8$, donc il y a 8 essais.et chaque question a deux issues possibles : une bonne réponse (succès) ou une mauvaise réponse/absence de réponse (échec).
     La probabilité de succès (répondre correctement) est $p = \frac{3}{4}$.

   • Les questions sont indépendantes.

   • La note comptabilise le nombre de succès

   Ainsi, $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 8$ et $p = \frac{3}{4}$.

2. La probabilité que le candidat réponde correctement à toutes les 8 questions (c'est-à-dire que $Y = 8$) est donnée par la formule de la loi binomiale :

   $P(Y = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}$

   Pour $k = 8$, $n = 8$ et $p = \frac{3}{4}$, nous avons :

   $P(Y = 8) = \binom{8}{8} \left( \frac{3}{4} \right)^8 \left( 1 - \frac{3}{4} \right)^{8 - 8}$

   $P(Y = 8) = 1 \times \left( \frac{3}{4} \right)^8 \times 1$

   $P(Y = 8) = \left( \frac{3}{4} \right)^8$

3. Pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale $Y$ de paramètres $n$ et $p$, l'espérance $E(Y)$ et la variance $V(Y)$ sont données par les formules suivantes :

   $E(Y) = n \times p$

   $V(Y) = n \times p \times (1 - p)$

   Dans notre cas, $n = 8$ et $p = \frac{3}{4}$.

   Calculons l'espérance :

   $E(Y) = 8 \times \frac{3}{4} = 6$

   Calculons la variance :

   $V(Y) = 8 \times \frac{3}{4} \times \left(1 - \frac{3}{4}\right)$

   $V(Y) = 8 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4}$

   $V(Y) = 8 \times \frac{3}{16} = 1,5$

   Donc, l'espérance de $Y$ est 6 et la variance de $Y$ est 1,5.

Partie III

1. Puisque $Z = X + Y$ :

   $E(Z) = E(X) + E(Y)$

   De plus, comme $X$ et $Y$ sont indépendantes :

   $V(Z) = V(X) + V(Y)$

   De la Partie I, nous avons :

   $E(X) = 1,3 \quad \text{et} \quad V(X) = 0,57$

   De la Partie II, nous avons :

   $E(Y) = 6 \quad \text{et} \quad V(Y) = 1,5$

   Calculons l'espérance de $Z$ :

   $E(Z) = E(X) + E(Y) = 1,3 + 6 = 7,3$

   Calculons la variance de $Z$ :

   $V(Z) = V(X) + V(Y) = 0,57 + 1,5 = 2,07$

2. 1. L'espérance de la moyenne de $n$ variables identiques et indépendantes est donnée par :

      $E(M_n) = E\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Z_i \right)$

      Par linéarité de l'espérance :

      $E(M_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(Z_i)$

      Puisque $Z_i$ ont toutes la même espérance $E(Z)$ :

      $E(M_n) = \frac{1}{n} \times n \times E(Z) = E(Z)$

      Donc :

      $E(M_n) = 7,3$

   2. L'écart type de $M_n$ est donné par :

      $\sigma(M_n) = \sqrt{V(M_n)}$

      La variance de $M_n$ est :

      $V(M_n) = V\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Z_i \right)$

      Par indépendance des $Z_i$ :

      $V(M_n) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} V(Z_i)$

      Puisque $Z_i$ ont toutes la même variance $V(Z)$ :

      $V(M_n) = \frac{1}{n^2} \times n \times V(Z) = \frac{V(Z)}{n}$

      Donc :

      $\sigma(M_n) = \sqrt{\frac{V(Z)}{n}}$

      Nous voulons que cet écart type soit inférieur ou égal à 0,5 :

      $\sqrt{\frac{V(Z)}{n}} \leqslant 0,5$

      Élevons au carré :

      $\frac{V(Z)}{n} \leqslant 0,25$

      $n \geqslant \frac{V(Z)}{0,25} = \frac{2,07}{0,25} = 8,28$

      Comme $n$ doit être un entier strictement positif, les valeurs possibles de $n$ sont :

      $n \geqslant 9$

   3. Nous allons utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Cette inégalité nous dit que pour toute variable aléatoire $X$ avec espérance $\mu$ et variance $\sigma^2$,

      $P(|X - \mu| \geqslant k\sigma) \leqslant \frac{1}{k^2}$

      Pour $M_n$, nous avons $\mu = 7,3$ et $\sigma^2 = \frac{2,07}{n}$. Nous voulons trouver la probabilité que $M_n$ soit dans l'intervalle $[6,3, 8,3]$. Cela signifie que nous cherchons $P(6,3 \leqslant M_n \leqslant 8,3)$.

      $P(6,3 \leqslant M_n \leqslant 8,3) = P(|M_n - 7,3| \leqslant 1)$

      Nous avons $\sigma(M_n) = \sqrt{\frac{2,07}{n}}$.

      Utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

      $P(|M_n - 7,3| \geqslant 1) \leqslant \frac{\sigma^2(M_n)}{1^2} = \frac{2,07}{n}$

      Pour $n \geqslant 9$, nous avons :

      $P(|M_n - 7,3| \geqslant 1) \leqslant \frac{2,07}{9} \approx 0,23$

      En passant à l'événement contraire, on obtient :

      $P(|M_n - 7,3| < 1) = 1 - P(|M_n - 7,3| \geqslant 1)$

      $P(|M_n - 7,3| < 1) \geqslant 1 - 0,23 = 0,77$

      Ainsi, pour $n \geqslant 9$, la probabilité que $6,3 \leqslant M_n \leqslant 8,3$ est supérieure ou égale à 0,75.