Exercice 4
(5 points) - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
On considère deux suites \left(u_n\right) et \left(v_n\right) :
- \left(u_n\right) définie par u_0 = 1 et pour tout entier naturel n : u_{n+1} = 2u_n-n+3 ;
- \left(v_n\right) définie, pour tout entier naturel n, par v_n = 2^n.
Partie A
Conjectures
Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur.
Une copie d'écran est donnée ci-dessous.
- Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?
- Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :
Conjecturer les limites des suites \left(u_n\right) et \left(\dfrac{u_n}{v_n} \right).
Partie B
Étude de la suite \left(u_n\right)
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a
u_n = 3 \times 2^n+n-2. - Déterminer la limite de la suite \left(u_n\right).
- Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.
Partie C
Étude de la suite \left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)
- Démontrer que la suite \left(\dfrac{u_n}{v_n} \right) est décroissante à partir du rang 3.
- On admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à 4, on a : 0 < \dfrac{n}{2^n} \leqslant \dfrac{1}{n}.
Déterminer la limite de la suite \left(\dfrac{u_n}{v_n} \right).