Suites - Bac S Pondichéry 2017

Exercice 4

(5 points) - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ :

$\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = 2u_n-n+3$ ;
$\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ , par $v_n = 2^n$ .

Conjectures
Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur.
Une copie d'écran est donnée ci-dessous.

Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?
Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :
Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ .

Étude de la suite $\left(u_n\right)$

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , on a
$u_n = 3 \times 2^n+n-2$ .
Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ .
Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.

Étude de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$

Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à partir du rang 3.
On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \leqslant \dfrac{1}{n}$ .
Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ .