Suites – Bac S Pondichéry 2017

On considère deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ :

$(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 2u_n - n + 3$ ;
$(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.

Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur. Une copie d'écran est donnée ci-dessous.

Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?
Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13, Florent obtient les résultats suivants :

Conjecturer les limites des suites $(u_n)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$.

Étude de la suite $(u_n)$

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3 \times 2^n + n - 2$.
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.

Étude de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$

Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ est décroissante à partir du rang 3.
On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $0 < \dfrac{n}{2^n} \leqslant \dfrac{1}{n}$. Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$.

Corrigé

On traduit la relation $u_{n+1} = 2u_n - n + 3$ et l'expression $v_n = 2^n$ dans les cellules :
- En B3 : =2*B2-A2+3
- En C3 : =2^A3 (ou =PUISSANCE(2;A3))
D'après les valeurs calculées par Florent :
- Les valeurs de $u_n$ croissent très rapidement. On conjecture $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
- Le quotient $\dfrac{u_n}{v_n}$ se rapproche de 3 (on observe $w_{10} \approx 3{,}0078$, $w_{11} \approx 3{,}0044$, $w_{12} \approx 3{,}0024$, $w_{13} \approx 3{,}0013$). On conjecture $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = 3$.

On démontre par récurrence la propriété $P_n$ : « $u_n = 3 \times 2^n + n - 2$ ».

Initialisation : pour $n = 0$, $u_0 = 1$ et $3 \times 2^0 + 0 - 2 = 3 - 2 = 1$. Ainsi $P_0$ est vraie.

Hérédité : supposons $P_n$ vraie pour un entier naturel $n$ : $u_n = 3 \times 2^n + n - 2$.
Alors :
$u_{n+1} = 2u_n - n + 3 = 2(3 \times 2^n + n - 2) - n + 3$
$u_{n+1} = 3 \times 2^{n+1} + 2n - 4 - n + 3 = 3 \times 2^{n+1} + n - 1$
Or $3 \times 2^{n+1} + (n + 1) - 2 = 3 \times 2^{n+1} + n - 1$. Donc $P_{n+1}$ est vraie.

Conclusion : pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3 \times 2^n + n - 2$.
Comme $2 > 1$, $\lim\limits_{n \to +\infty} 2^n = +\infty$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 3 \times 2^n = +\infty$.
De plus $\lim\limits_{n \to +\infty} (n - 2) = +\infty$.
Par somme de limites : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
On cherche le plus petit entier $n$ tel que $u_n > 10^6$.
Pour $n = 18$ : $u_{18} = 3 \times 2^{18} + 16 = 3 \times 262\,144 + 16 = 786\,432 + 16 = 786\,448 < 10^6$.
Pour $n = 19$ : $u_{19} = 3 \times 2^{19} + 17 = 3 \times 524\,288 + 17 = 1\,572\,864 + 17 = 1\,572\,881 > 10^6$.
Le rang cherché est donc $\mathbf{n = 19}$.

On pose $w_n = \dfrac{u_n}{v_n} = \dfrac{3 \times 2^n + n - 2}{2^n} = 3 + \dfrac{n - 2}{2^n}$.
On étudie le signe de $w_{n+1} - w_n$ :
$w_{n+1} - w_n = \dfrac{n - 1}{2^{n+1}} - \dfrac{n - 2}{2^n} = \dfrac{n - 1 - 2(n - 2)}{2^{n+1}} = \dfrac{3 - n}{2^{n+1}}$
Pour $n \geqslant 3$, $3 - n \leqslant 0$, donc $w_{n+1} - w_n \leqslant 0$.
La suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$ est donc décroissante à partir du rang 3.
Pour tout $n \geqslant 4$ : $0 < \dfrac{n}{2^n} \leqslant \dfrac{1}{n}$.
Comme $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$, d'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{n}{2^n} = 0$.
De plus, $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{2}{2^n} = 0$ puisque $\lim\limits_{n \to +\infty} 2^n = +\infty$.
On a $\dfrac{u_n}{v_n} = 3 + \dfrac{n}{2^n} - \dfrac{2}{2^n}$.
Par somme de limites : $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{u_n}{v_n} = 3$.