Exercice 1

(5 points) - Commun à tous les candidats

Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante .

Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième.

La chocolaterie « Choc'o » fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de $85\,\%$.

Partie A

À l'issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc.

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication:

• la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à $0,98$.

• la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est $0,95$. À la fin d'une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note :

• $A$ l' évènement: « la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A »

• $C$ l'évènement : « la tablette de chocolat est commercialisable ».

On note $x$ la probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne A.

1. Montrer que $P(C) = 0,03x+0,95$.

2. À l'issue de la production, on constate que $96\,\%$ des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu'une tablette soit commercialisable.

   Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A.

Partie B

Une machine électronique mesure la teneur en cacao d'une tablette de chocolat. Sa durée de vie, en années, peut être modélisée par une variable aléatoire $Z$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

1. La durée de vie moyenne de ce type de machine est de 5 ans.

   Déterminer le paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle.

2. Calculer $P(Z > 2)$.

3. Sachant que la machine de l'atelier a déjà fonctionné pendant 3 ans, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 ans ?

Partie C

On note $X$ la variable aléatoire donnant la teneur en cacao, exprimée en pourcentage, d'une tablette de $100~g$ de chocolat commercialisable. On admet que X suit la loi normale d'espérance $\mu = 85$ et d'écart type $\sigma = 2$.

1. Calculer $P(83 < X < 87)$.

   Quelle est la probabilité que la teneur en cacao soit différente de plus de $2\,\%$ du pourcentage annoncé sur l'emballage ?

2. Déterminer une valeur approchée au centième du réel $a$ tel que:

   $P(85 - a < X < 85+a) = 0,9.$

   Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

3. La chocolaterie vend un lot de $10\ 000$ tablettes de chocolat à une enseigne de la grande distribution. Elle affirme au responsable achat de l'enseigne que, dans ce lot, $90\,\%$ des tablettes ont un pourcentage de cacao appartenant à l'intervalle $[81,7~;~88,3]$.

   Afin de vérifier si cette affirmation n'est pas mensongère, le responsable achat fait prélever $550$ tablettes au hasard dans le lot et constate que, sur cet échantillon, $80$ ne répondent pas au critère.

   Au vu de l'échantillon prélevé, que peut-on conclure quant à l'affirmation de la chocolaterie ?