Nombres complexes - Bac S Pondichéry 2017

Exercice 2

(3 points) - Commun à tous les candidats

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct $(O~;~\vec{u};~\vec{v})$ .

On considère l'équation
$(E) :\qquad z^2 - 6z+c = 0$
où $c$ est un réel strictement supérieur à $9$ .
1. Justifier que $(E)$ admet deux solutions complexes non réelles.
2. Justifier que les solutions de $(E)$ sont $z_{A} = 3+\text{i}\sqrt{c - 9}$ et $z_{B} = 3 - \text{i}\sqrt{c - 9}$ .
On note $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $z_{A}$ et $z_{B}$ .

Justifier que le triangle $OAB$ est isocèle en $O$ .
Démontrer qu'il existe une valeur du réel $c$ pour laquelle le triangle $OAB$ est rectangle et déterminer cette valeur.

1. Le discriminant de l'équation est :
  
  $\Delta = b^2 - 4ac=36 - 4c = 4(9 - c)$
  
  Ce discriminant est strictement négatif puisque $c > 9$ .
  
  L'équation $(E)$ admet donc deux solutions complexes non réelles conjuguées.
2. $z_1=\dfrac{ - b+\text{i}\sqrt{ - \Delta}}{2a}$
  
  $z_1=\dfrac{6+2\text{i}\sqrt{c - 9}}{2}$
  
  $z_1=3+\text{i}\sqrt{c - 9}=z_A$
  
  $z_2=\overline{z_1}$
  
  $z_2=3 - \text{i}\sqrt{c - 9}=z_B$
$OA=\left|z_A \right|$

$OB=\left|z_B \right|=\left|z_A \right|$ car deux nombres complexes conjugués ont les mêmes modules.

Le triangle $OAB$ est donc isocèle en $O$ .
Le triangle $OAB$ est rectangle en $O$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont orthogonaux.

Les coordonnées de $\overrightarrow{OA}$ sont $\begin{pmatrix} 3 \\ \sqrt{c - 9} \end{pmatrix}$ .

Les coordonnées de $\overrightarrow{OB}$ sont $\begin{pmatrix} 3 \\ - \sqrt{c - 9} \end{pmatrix}$ .

Les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Or :

$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=3\times 3+\sqrt{c - 9}\times( - \sqrt{c - 9})$

$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=9 - (c - 9)=18 - c$

Le triangle $OAB$ est donc rectangle en $O$ si et seulement si $c=18$