Exercice 4

(5 points) - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité On définit les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par :

$u_0 = v_0 = 1$

et, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} = 2u_n+3v_n$

et $v_{n+1} = 2u_n+v_n$

On admettra que les termes de ces suites sont des entiers naturels non nuls.

Partie A

Conjectures

Flore a calculé les premiers termes des suites à l'aide d'un tableur.

Une copie d'écran est donnée ci-dessous.

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des suites ?

2. Soit $n$ un entier naturel.

   Conjecturer la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$. Aucune justification n'est demandée.

3. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Flore obtient les résultats suivants :

   

   Elle émet la conjecture : « la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ converge ».

   Qu'en penser ?

Partie B

Étude arithmétique

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :

   $2u_n - 3v_n = ( - 1)^{n+1}$.

2. Soit $n$ un entier naturel.

   Déduire de la question précédente la valeur de PGCD$\left(u_n~;~v_n\right)$.

Partie C

Étude matricielle Pour tout entier naturel $n$, on définit :

• $X_n = \begin{pmatrix}u_n \\ v_n\end{pmatrix}$,

• $P = \begin{pmatrix} 1&3 \\ - 1&2\end{pmatrix}$ et $Q_n = \begin{pmatrix}( - 1)^n&3 \times 2^{2n}\\( - 1)^{n+1}&2^{2n+1}\end{pmatrix}.$

1. 1. Montrer que la matrice $\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2& - 3\\1&1\end{pmatrix}$ est l'inverse de $P$.

   2. On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $X_n = Q_nP^{ - 1} X_0$.

      Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $\left\{\begin{array}{l c l} u_n&=&\dfrac{( - 1)^{n+1}+ 3\times 2^{2n+1}}{5} \\ \\ v_n&=&\dfrac{( - 1)^{n}+ 2^{2n+2}}{5} \end{array}\right.$

2. 1. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $\dfrac{u_n}{v_n}= \dfrac{\frac{( - 1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+ 3}{\frac{( - 1)^{n}}{2^{2n+1}}+ 2}$.

   2. En déduire la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.