Exercice 3

(4 points) - Commun à tous les candidats

Une entreprise spécialisée dans les travaux de construction a été mandatée pour percer un tunnel à flanc de montagne.

Après étude géologique, l'entreprise représente dans le plan la situation de la façon suivante : dans un repère orthonormal, d'unité $2~m$, la zone de creusement est la surface délimitée par l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$.

On admet que $\mathscr{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[ - 2,5~;~2,5]$ par:

L'objectif est de déterminer une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.

Partie A

Étude de la fonction $f$

1. Calculer $f^\prime(x)$ pour $x \in [ - 2,5~;~2,5]$.

2. Dresser, en justifiant, le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[ - 2,5~;~2,5]$.

   En déduire le signe de $f$ sur $[ - 2,5~;~2,5]$.

Partie B

Aire de la zone de creusement On admet que la courbe $\mathscr{C}$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.

1. La courbe $\mathscr{C}$ est-elle un arc de cercle de centre $O$ ? Justifier la réponse.

2. Justifier que l'aire, en mètre carré, de la zone de creusement est

   $\mathscr{A} = 8\int_0^{2,5} f(x)\:\text{d}x$.

3. L'algorithme, donné en annexe, permet de calculer une valeur approchée par défaut de $I = \int_0^{2,5} f(x)\:\text{d}x$, notée $a$.

   On admet que : $a \leqslant I \leqslant a+\dfrac{f(0) - f(2,5)}{n}\times 2,5$.

   1. Le tableau fourni en annexe, donne différentes valeurs obtenues pour $R$ et $S$ lors de l'exécution de l'algorithme pour $n = 50$.

      Compléter ce tableau en calculant les six valeurs manquantes.

   2. En déduire une valeur approchée, au mètre carré près, de l'aire de la zone de creusement.

ANNEXE à compléter et à remettre avec la copie