Exercice 2 (5 points)
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par
u_{0}=0 et, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=u_{n}+2n +2.
- Calculer u_{1} et u_{2}.
- On considère les deux algorithmes suivants :
Variables : n est un entier naturel u est un réel Entrée : Saisir la valeur de n Traitement : u prend la valeur 0 Pour i allant de 1 à n: ………u prend la valeur u+2i+2 Fin Pour Sortie : Afficher u Algorithme 1
Variables : n est un entier naturel u est un réel Entrée : Saisir la valeur de n Traitement : u prend la valeur 0 Pour i allant de 0 à n-1: ………u prend la valeur u+2i+2 Fin Pour Sortie : Afficher u Algorithme 2
De ces deux algorithmes, lequel permet d’afficher en sortie la valeur de u_{n}, la valeur de l’entier naturel n étant entrée par l’utilisateur ?
- À l’aide de l’algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure en abscisse et u_{n} en ordonnée.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 u_{n} 0 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156 - Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite \left(u_{n}\right) ?
Démontrer cette conjecture. - La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réels a, b et c tels que, pour tout entier naturel n, u_{n}=an^{2}+bn+c
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à l’aide des informations fournies.
- Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite \left(u_{n}\right) ?
- Exprimer v_{n} en fonction de l’entier naturel n. Quelle est la nature de la suite \left(v_{n}\right) ?
- On définit, pour tout entier naturel n, S_{n}=\sum_{k=0}^{n} v_{k}=v_{0}+v_{1}+. . .+v_{n}.
Démontrer que, pour tout entier naturel n, S_{n}=\left(n+1\right)\left(n+2\right). - Démontrer que, pour tout entier naturel n, S_{n}=u_{n+1}-u_{0}, puis exprimer u_{n} en fonction de n.
Corrigé
Solution rédigée par Paki suites-bac-s-polynesie-2014