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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites - Bac S Polynésie 2014

Exercice 2  (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par
u0=0u_{0}=0
et, pour tout entier naturel nn,
un+1=un+2n+2u_{n+1}=u_{n}+2n +2.

  1. Calculer u1u_{1} et u2u_{2}.

  2. On considère les deux algorithmes suivants :

    Variables : nn est un entier naturel
    uu est un réel
    Entrée : Saisir la valeur de nn
    Traitement : uu prend la valeur 0
    Pour ii allant de 11 à nn:
    \quad\quad\quaduu prend la valeur u+2i+2u+2i+2
    Fin Pour
    Sortie : Afficher uu

    Algorithme 1

    Variables : nn est un entier naturel
    uu est un réel
    Entrée : Saisir la valeur de nn
    Traitement : uu prend la valeur 00
    Pour ii allant de 00 à n1n - 1:
    \quad\quad\quaduu prend la valeur u+2i+2u+2i+2
    Fin Pour
    Sortie : Afficher uu

    Algorithme 2

    De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de unu_{n}, la valeur de l'entier naturel nn étant entrée par l'utilisateur ?

  3. À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où nn figure en abscisse et unu_{n} en ordonnée.

    nn 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    unu_{n} 0 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156

    nuage de points

    1. Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite (un)\left(u_{n}\right) ?

      Démontrer cette conjecture.

    2. La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels a,ba, b et cc tels que, pour tout entier naturel nn, un=an2+bn+cu_{n}=an^{2}+bn+c

      Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a,ba, b et cc à l'aide des informations fournies

  4. On définit, pour tout entier naturel nn, la suite (vn)\left(v_{n}\right) par vn=un+1unv_{n}=u_{n+1} - u_{n}.

    1. Exprimer vnv_{n} en fonction de l'entier naturel nn. Quelle est la nature de la suite (vn)\left(v_{n}\right) ?

    2. On définit, pour tout entier naturel n,Sn=k=0nvk=v0+v1+...+vnn, S_{n}=\sum_{k=0}^{n} v_{k}=v_{0}+v_{1}+. . .+v_{n}.

      Démontrer que, pour tout entier naturel n,Sn=(n+1)(n+2)n, S_{n}=\left(n+1\right)\left(n+2\right).

    3. Démontrer que, pour tout entier naturel n,Sn=un+1u0n, S_{n}=u_{n+1} - u_{0}, puis exprimer unu_{n} en fonction de nn.