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Suites et récurrence Exercices

Suites – Bac S Polynésie 2014

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout entier naturel $n$,

$u_{n+1} = u_n + 2n + 2$
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

  2. Deux algorithmes sont proposés ci-dessous.

    Algorithme 1 :

    Variables : $n$ est un entier naturel
      $u$ est un réel
    Entrée : Saisir la valeur de $n$
    Traitement : $u$ prend la valeur $0$
      Pour $i$ allant de $1$ à $n$ :
      $\quad u$ prend la valeur $u + 2i + 2$
      Fin Pour
    Sortie : Afficher $u$

    Algorithme 2 :

    Variables : $n$ est un entier naturel
      $u$ est un réel
    Entrée : Saisir la valeur de $n$
    Traitement : $u$ prend la valeur $0$
      Pour $i$ allant de $0$ à $n - 1$ :
      $\quad u$ prend la valeur $u + 2i + 2$
      Fin Pour
    Sortie : Afficher $u$

    De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur de $u_n$, la valeur de l'entier naturel $n$ étant entrée par l'utilisateur ?

  3. À l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où $n$ figure en abscisse et $u_n$ en ordonnée.

    $n$ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    $u_n$ 0 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156

    Nuage de points représentant la suite (u_n)

    1. Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite $(u_n)$ ? Démontrer cette conjecture.
    2. La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = an^2 + bn + c$. Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de $a$, $b$ et $c$ à l'aide des informations fournies.

  4. On définit, pour tout entier naturel $n$, la suite $(v_n)$ par $v_n = u_{n+1} - u_n$.

    1. Exprimer $v_n$ en fonction de l'entier naturel $n$. Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ?
    2. On définit, pour tout entier naturel $n$, $S_n = \sum\limits_{k=0}^{n} v_k = v_0 + v_1 + \dots + v_n$. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $S_n = (n+1)(n+2)$.
    3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $S_n = u_{n+1} - u_0$, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

Corrigé

On traite les questions dans l'ordre.

  1. On utilise la relation $u_{n+1} = u_n + 2n + 2$ avec $u_0 = 0$.
    $u_1 = u_0 + 2 \times 0 + 2 = 2$
    $u_2 = u_1 + 2 \times 1 + 2 = 2 + 4 = 6$
  2. L'algorithme qui affiche $u_n$ est l'algorithme 2.
    En effet, la relation de récurrence $u_{n+1} = u_n + 2n + 2$ doit être appliquée avec les valeurs $i = 0, 1, \dots, n - 1$ pour obtenir $u_n$ à partir de $u_0$. C'est exactement ce que fait la boucle « Pour $i$ allant de $0$ à $n - 1$ » de l'algorithme 2.
    L'algorithme 1 boucle avec $i = 1, 2, \dots, n$ et affiche donc $u_{n+1}$ au lieu de $u_n$.
    1. D'après le tableau et le nuage de points, on conjecture que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
      Démonstration : pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - u_n = 2n + 2$. Comme $n \geqslant 0$, $2n + 2 \geqslant 2 > 0$, donc $u_{n+1} - u_n > 0$. La suite $(u_n)$ est donc strictement croissante.
    2. Si $u_n = an^2 + bn + c$ pour tout $n$, alors :
    3. pour $n = 0$ : $u_0 = c$, donc $c = 0$ ;
    4. pour $n = 1$ : $u_1 = a + b + c = a + b = 2$ ;

    5. pour $n = 2$ : $u_2 = 4a + 2b + c = 4a + 2b = 6$, soit $2a + b = 3$.
      On résout le système :

      $\begin{cases} a + b = 2 \\ 2a + b = 3 \end{cases}$

      Par soustraction, $a = 1$, puis $b = 1$. On conjecture donc $u_n = n^2 + n = n(n+1)$.

    1. Pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_{n+1} - u_n = 2n + 2$.
      $v_n$ est de la forme $an + b$ ; c'est le terme général d'une suite arithmétique de premier terme $v_0 = 2$ et de raison $r = 2$.
    2. $S_n$ est la somme des $n + 1$ premiers termes d'une suite arithmétique.
      $S_n = (n + 1) \times \dfrac{v_0 + v_n}{2} = (n + 1) \times \dfrac{2 + 2n + 2}{2} = (n + 1) \times \dfrac{2n + 4}{2} = (n + 1)(n + 2)$
    3. Par télescopage :
      $S_n = (u_1 - u_0) + (u_2 - u_1) + \dots + (u_{n+1} - u_n) = u_{n+1} - u_0$
      Comme $u_0 = 0$, $u_{n+1} = S_n = (n + 1)(n + 2)$.
      Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $u_n = S_{n-1} = n(n + 1)$ ; cette formule reste valable pour $n = 0$ puisque $0 \times 1 = 0 = u_0$.
      Ainsi, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = n(n + 1) = n^2 + n$.