Exercice 4  (5 points)

Commun à tous les candidats

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par

On note $\mathscr C_{f}$ et $\mathscr C_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal.

1. Démontrer que les courbes $\mathscr C_{f}$ et $\mathscr C_{g}$ ont un point commun d'abscisse $0$ et qu'en ce point, elles ont la même tangente $\Delta$ dont on déterminera une équation.

2. Étude de la position relative de la courbe $\mathscr C_{g}$ et de la droite $\Delta$

   Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h\left(x\right)=2e^{^{\frac{x}{2}}} - x - 2$.

   1. Déterminer la limite de la fonction $h$ en $- \infty$.

   2. Justifier que, pour tout réel $x, h\left(x\right)=x \left(\frac{e^{^{\frac{x}{2}}}}{^{\frac{x}{2}}} - 1 - \frac{2}{x}\right)$.

      En déduire la limite de la fonction $h$ en $+ \infty$.

   3. On note $h^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$.

      Pour tout réel $x$, calculer $h^{\prime}\left(x\right)$ et étudier le signe de $h^{\prime}\left(x\right)$ suivant les valeurs de $x$.

   4. Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur $\mathbb{R}$.

   5. En déduire que, pour tout réel $x, 2e^{^{\frac{x}{2}}} - 1\geqslant x+1$.

   6. Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe $\mathscr C_{g}$ et de la droite $\Delta$

3. Étude de la position relative des courbes $\mathscr C_{f}$ et $\mathscr C_{g}$

   1. Pour tout réel $x$, développer l'expression $\left(e^{^{\frac{x}{2}}} - 1\right)^{2}$.

   2. Déterminer la position relative des courbes $\mathscr C_{f}$ et $\mathscr C_{g}$

4. Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine compris entre les courbes $\mathscr C_{f}$ et $\mathscr C_{g}$ et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=1$