Exercice 1  (5 points)

Commun à tous les candidats

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points

$A \left(5 ; - 5 ; 2\right), B \left( - 1 ; 1 ; 0\right), C \left(0 ; 1 ; 2\right)$ et $D \left(6 ; 6 ; - 1\right).$

1. Déterminer la nature du triangle $BCD$ et calculer son aire.

2. 1. Montrer que le vecteur $\vec{n} \begin{pmatrix} - 2 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\left(BCD\right)$.

   2. Déterminer une équation cartésienne du plan $\left(BCD\right)$

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr D$ orthogonale au plan $\left(BCD\right)$ et passant par le point $A$.

4. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\mathscr D$ et du plan $\left(BCD\right)$.

5. Déterminer le volume du tétraèdre $ABCD$.
   On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule $V=\frac{1}{3} \mathscr B\times h$, où $\mathscr B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur correspondante.

6. On admet que $AB=\sqrt{76}$ et $AC= \sqrt{61}$.
   Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle $\widehat{BAC}$