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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Arithmétique - Bac S Polynésie 2014 (spé)

Exercice 2  (5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de ce jour dans le mois et numéro du mois de naissance, le rang du mois dans l'année.

Par exemple, pour une personne née le 14 mai, le numéro du jour de naissance est 14 et le numéro du mois de naissance est 5.

Partie A

Lors d'une représentation, un magicien demande aux spectateurs d'effectuer le programme de calcul (A) suivant :

« Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12.
Prenez le numéro de votre mois de naissance et multipliez-le par 37.
Ajoutez les deux nombres obtenus.
Je pourrai alors vous donner la date de votre anniversaire ».

Un spectateur annonce 308 et en quelques secondes, le magicien déclare : « Votre anniversaire tombe le 1er août ! ».

  1. Vérifier que pour une personne née le 1er août, le programme de calcul (A) donne effectivement le nombre 308308.

    1. Pour un spectateur donné, on note jj le numéro de son jour de naissance, mm celui de son mois de naissance et zz le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A).

      Exprimer zz en fonction de jj et de mm et démontrer que zz et mm sont congrus modulo 12.

    2. Retrouver alors la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 474474 en appliquant le programme de calcul (A)

Partie B

Lors d'une autre représentation, le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est jj et le numéro du mois de naissance est mm, le magicien demande de calculer le nombre zz défini par z=12j+31mz=12j+31m.

Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date d'anniversaire du spectateur.

  1. Première méthode :

    On considère l'algorithme suivant :

    Variables : jj et mm sont des entiers naturels
    Traitement : Pour mm allant de 1 à 12 faire :
    \quad \quad Pour jj allant de 1 à 31 faire :
    \quad \quad \quad \quad zz prend la valeur 12j+31m12j+31m
    \quad \quad \quad \quad Afficher zz
    \quad \quad Fin Pour
    Fin Pour
    Modifier cet algorithme afin qu'il affiche toutes les valeurs de jj et de mm telles que 12j+31m=50312j+31m=503.

  2. Deuxième méthode :

    1. Démontrer que 7m7m et zz ont le même reste dans la division euclidienne par 12.

    2. Pour mm variant de 1 à 12, donner le reste de la division euclidienne de 7m7m par 12.

    3. En déduire la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 503503 avec le programme de calcul (B)

  3. Troisième méthode :

    1. Démontrer que le couple (2;17)\left( - 2 ; 17\right) est solution de l'équation 12x+31y=50312x+31y=503.

    2. En déduire que si un couple d'entiers relatifs (x;y)\left(x ; y\right) est solution de l'équation 12x+31y=50312x+31y=503, alors 12(x+2)=31(17y)12\left(x+2\right)=31 \left(17 - y\right).

    3. Déterminer l'ensemble de tous les couples d'entiers relatifs

      (x;y)\left(x ; y\right), solutions de l'équation 12x+31y=50312x+31y=503.

    4. Démontrer qu'il existe un unique couple d'entiers relatifs (x;y)\left(x ; y\right) tel que 1y121 \leqslant y \leqslant 12.

      En déduire la date d'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 503503 avec le programme de calcul (B)