Exercice 4   (5 points)

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un volume constant de 2200 m$^{3}$ d'eau est réparti entre deux bassins A et B.

Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de deux pompes.

On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

• au départ, le bassin A contient 1 100 m$^{3}$ d'eau et le bassin B contient 1 100 m$^{3}$ d'eau ;

• tous les jours, 15% du volume d'eau présent en début de journée dans le bassin B est transféré vers le bassin A ;

• tous les jours, 10% du volume d'eau présent en début de journée dans le bassin du bassin A est transféré vers le bassin B, et pour des raisons de maintenance, on transfère également 5 m$^{3}$ du bassin A vers le bassin B.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

• $a_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^{3}$, contenu dans le bassin A à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ;

• $b_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^{3}$, contenu dans le bassin B à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement.

On a donc $a_{0}= 1 100$ et $b_{0}=1 100$. Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante

Partie A

1. Traduire la conservation du volume total d'eau du circuit par une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$.

2. On utilise un tableur pour visualiser l'évolution du volume d'eau dans les bassins.

   Donner les formules à écrire et à recopier vers le bas dans les cellules B3 et C3 permettant d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous :

   	A	B	C
   1	Jour $n$	Volume bassin A	Volume bassin B
   2	0	1 100,00	1 100,00
   3	1
   4	2	1 187,50	1 012,50
   5	3	1 215,63	984,38
   6	4	1 236,72	963,28
   7	5	1 252,54	947,46
   8	6	1 264,40	935,60
   9	7	1 273,30	926,10
   10	8	1 279,98	920,02
   11	9	1 234,98	915,02
   12	10	1 288,74	911,26
   13	11	1 291,55	908,45
   14	12	1 293,66	906,34
   15	13	1 295,25	904,75
   16	14	1 296,44	903,56
   17	15	1 297,33	902,67
   18	16	1 298,00	902,00
   19	17	1 298,50	901,50
   20	18	1 298,87	901,13

3. Quelles conjectures peut-on faire sur l'évolution du volume d'eau dans chacun des bassins ?

Partie B

On considère la matrice carrée $M=\begin{pmatrix} 0,9 & 2 \\ 1 & 0,85 \end{pmatrix}$

et les matrices colonnes $R=\begin{pmatrix} - 5 \\ 5 \end{pmatrix}$ et $X_{n}=\begin{pmatrix} a_{n} \\ b_{n} \end{pmatrix}$.

On admet que, pour tout entier naturel $n : X_{n+1}=M X_{n}+R$.

1. On note $S=\begin{pmatrix} 1 300 \\ 900 \end{pmatrix}$.

   Vérifier que $S=MS+R$.

   En déduire que, pour tout entier naturel $n : X_{n+1} - S=M\left(X_{n} - S\right)$.

   Dans la suite, on admettra que, pour tout entier naturel $n$ : $X_{n} - S=M^{n}\left(X_{0} - S\right)$ et que

   $M^{n}=\begin{pmatrix} 0,6+0,4 \times 0,75^{n} & 0,6 - 0,6 \times 0,75^{n} \\ 0,4 - 0,4 \times 0,75^{n} & 0,4+0,6 \times 0,75^{n} \end{pmatrix}$.

2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ : $X_{n}=\begin{pmatrix} 1300 - 200\times 0,75^{n} \\ 900+200\times 0,75^{n} \end{pmatrix}$.

3. Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A.

4. On considère que le processus est stabilisé lorsque l'entier naturel $n$ vérifie

   $1300 - a_{n} < 1,5$ et $b_{n} - 900 < 1,5.$

   Déterminer le premier jour pour lequel le processus est stabilisé.