Fonctions - Bac S Amérique du Nord 2014
Exercice 2 (6 points)
Commun à tous les candidats On considère la fonction définie sur par :
.
On note la représentation graphique de la fonction et la droite d'équation dans un repère orthogonal du plan.
Partie A : Positions relatives de et
Soit la fonction définie sur l'intervalle par .
Justifier que, pour tout réel de l'intervalle , .
La courbe et la droite ont-elles un point commun ? Justifier.
Partie B : Étude de la fonction
On note le point d'abscisse de la courbe , le point d'abscisse de la droite et on s'intéresse à l'évolution de la distance .
Justifier que, pour tout de l'intervalle , la distance est égale à .
On note la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle .
Pour tout de l'intervalle , calculer .
Montrer que la fonction possède un maximum sur l'intervalle que l'on déterminera.
En donner une interprétation graphique.
Partie C : Étude d'une aire
On considère la fonction définie sur l'intervalle par
.
Hachurer, sur le graphique ci-dessous, le domaine dont l'aire est donnée par .
Justifier que la fonction est croissante sur l'intervalle .
Pour tout réel strictement positif, calculer .
Existe-t-il une valeur de telle que