Exercice 3   (4 points)

Commun à tous les candidats

On considère un cube $ABCDEFGH$ donné ci-dessous.

On note $M$ le milieu du segment $\left[EH\right]$, $N$ celui de $\left[FC\right]$ et $P$ le point tel que $\overrightarrow{HP} = \frac{1}{4} \overrightarrow{HG}$

Partie A : Section du cube par le plan (MNP)

1. Justifier que les droites $\left(MP\right)$ et $\left(FG\right)$ sont sécantes en un point $L$. Construire le point $L$.

2. On admet que les droites $\left(LN\right)$ et $\left(CG\right)$ sont sécantes et on note $T$ leur point d'intersection.

   On admet que les droites $\left(LN\right)$ et $\left(BF\right)$ sont sécantes et on note $Q$ leur point d'intersection.

   1. Construire les points $T$ et $Q$ en laissant apparents les traits de construction.

   2. Construire l'intersection des plans $\left(MNP\right)$ et $\left(ABF\right)$

3. En déduire une construction de la section du cube par le plan $\left(MNP\right)$.

Partie B

L'espace est rapporté au repère $\left(A ; \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AD} , \overrightarrow{AE}\right)$

1. Donner les coordonnées des points $M$, $N$et $P$ dans ce repère.

2. Déterminer les coordonnées du point $L$.

3. On admet que le point $T$ a pour coordonnées $\left(1 ; 1 ; \frac{5}{8}\right)$

   Le triangle $TPN$ est-il rectangle en $T$ ?