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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites - Bac S Amérique du Nord 2013

Exercice 2   (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par u0=1u_{0}=1 et, pour tout entier naturel nn,

un+1=2un. u_{n+1}=\sqrt{2u_{n}}.

  1. On considère l'algorithme suivant :

    Variables : nn est un entier naturel
    uu est un réel positif
    Initialisation : Demander la valeur de nn
    Affecter à uu la valeur 1
    Traitement : Pour ii variant de 1 à nn :
    \quadAffecter à uu la valeur 2u\sqrt{2u}
    Fin de Pour
    Sortie : Afficher uu

    1. Donner une valeur approchée à 10410^{ - 4} près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit n=3n=3.

    2. Que permet de calculer cet algorithme?

    3. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de nn.

      nn 1 5 10 15 20
      Valeur affichée 1,4142 1,9571 1,9986 1,9999 1,9999
      Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (un)\left(u_{n}\right) ?

    1. Démontrer que, pour tout entier naturel n,0<un2n, 0 < u_{n}\leqslant 2.

    2. Déterminer le sens de variation de la suite (un)\left(u_{n}\right).

    3. Démontrer que la suite (un)\left(u_{n}\right) est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.

  2. On considère la suite (vn)\left(v_{n}\right) définie, pour tout entier naturel nn, par vn=lnunln2v_{n}=\ln u_{n} - \ln 2.

    1. Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est la suite géométrique de raison 12\frac{1}{2} et de premier terme

      v0=ln2v_{0} = - \ln 2.

    2. Déterminer, pour tout entier naturel nn, l'expression de vnv_{n} en fonction de nn, puis de unu_{n} en fonction de nn.

    3. Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right).

    4. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de nn telle que un>1,999u_{n} > 1,999.

      Variables : nn est un entier naturel
      uu est un réel
      Initialisation : Affecter à nn la valeur 00
      Affecter à uu la valeur 1
      Traitement : ...
      Sortie : ...