Suites et récurrence
Exercices
Suites – Bac S Amérique du Nord 2013
25 minutes
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On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1} = \sqrt{2 u_n}$
On considère l'algorithme suivant :
Variables : $n$ est un entier naturel $u$ est un réel positif Initialisation : Demander la valeur de $n$ Affecter à $u$ la valeur $1$ Traitement : Pour $i$ variant de $1$ à $n$ : $\quad$Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2 u}$ Fin de Pour Sortie : Afficher $u$ - Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat qu'affiche cet algorithme lorsque l'on choisit $n = 3$.
- Que permet de calculer cet algorithme ?
Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l'aide de cet algorithme pour certaines valeurs de $n$.
$n$ $1$ $5$ $10$ $15$ $20$ Valeur affichée $1{,}4142$ $1{,}9571$ $1{,}9986$ $1{,}9999$ $1{,}9999$ Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite $(u_n)$ ?
- Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n \leqslant 2$.
- Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
- Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite.
On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \ln u_n - \ln 2$.
- Démontrer que la suite $(v_n)$ est la suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = -\ln 2$.
- Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
- Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions du traitement et de la sortie, de façon à afficher en sortie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n > 1{,}999$.
Variables : $n$ est un entier naturel $u$ est un réel Initialisation : Affecter à $n$ la valeur $0$ Affecter à $u$ la valeur $1$ Traitement : ... Sortie : ...
Corrigé
- On fait tourner l'algorithme pour $n = 3$ :
$u_1 = \sqrt{2 \times 1} = \sqrt{2} \approx 1{,}4142$
$u_2 = \sqrt{2 \times \sqrt{2}} \approx \sqrt{2{,}8284} \approx 1{,}6818$
$u_3 = \sqrt{2 u_2} \approx \sqrt{3{,}3636} \approx 1{,}8340$
L'algorithme affiche donc environ $1{,}8340$. - Cet algorithme calcule le terme $u_n$ de la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 u_n}$.
- Au vu des valeurs, la suite $(u_n)$ semble croissante et converger vers $2$.
- On fait tourner l'algorithme pour $n = 3$ :
- Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n \leqslant 2$.
Soit $P_n$ la propriété « $0 < u_n \leqslant 2$ ».
Initialisation : Pour $n = 0$, $u_0 = 1$ et $0 < 1 \leqslant 2$, donc $P_0$ est vraie.
Hérédité : Supposons $P_n$ vraie pour un entier $n$ fixé, soit $0 < u_n \leqslant 2$.
Alors $0 < 2 u_n \leqslant 4$, d'où en composant par la fonction racine carrée (croissante sur $[0 ; +\infty[$) :
$0 < \sqrt{2 u_n} \leqslant \sqrt{4} = 2$, c'est-à-dire $0 < u_{n+1} \leqslant 2$.
$P_{n+1}$ est donc vraie.
Conclusion : pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n \leqslant 2$. - Étudions le signe de $u_{n+1} - u_n$. Pour tout entier $n$ :
$u_{n+1}^2 - u_n^2 = 2 u_n - u_n^2 = u_n (2 - u_n)$
D'après la question précédente, $u_n > 0$ et $2 - u_n \geqslant 0$, donc $u_{n+1}^2 - u_n^2 \geqslant 0$, soit $u_{n+1}^2 \geqslant u_n^2$.
Comme $u_n > 0$ et $u_{n+1} > 0$, on en déduit $u_{n+1} \geqslant u_n$.
La suite $(u_n)$ est donc croissante. - La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$. D'après le théorème de la convergence monotone, elle converge.
- Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n \leqslant 2$.
- Pour tout entier naturel $n$ :
$v_{n+1} = \ln u_{n+1} - \ln 2 = \ln \sqrt{2 u_n} - \ln 2 = \dfrac{1}{2} \ln(2 u_n) - \ln 2$
$v_{n+1} = \dfrac{1}{2} (\ln 2 + \ln u_n) - \ln 2 = \dfrac{1}{2} \ln u_n - \dfrac{1}{2} \ln 2 = \dfrac{1}{2}(\ln u_n - \ln 2) = \dfrac{1}{2} v_n$
La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0 = \ln u_0 - \ln 2 = \ln 1 - \ln 2 = -\ln 2$. Pour tout entier naturel $n$ :
$v_n = -\ln 2 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$Comme $v_n = \ln u_n - \ln 2$, on a $\ln u_n = v_n + \ln 2$, puis :
$u_n = \mathrm{e}^{v_n + \ln 2} = 2 \, \mathrm{e}^{v_n} = 2 \, \mathrm{e}^{-\ln 2 \times (1/2)^n}$- Comme $\left|\dfrac{1}{2}\right| < 1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0$.
Par continuité de la fonction exponentielle, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 2 \, \mathrm{e}^0 = 2$. Algorithme complété :
Variables : $n$ est un entier naturel $u$ est un réel Initialisation : Affecter à $n$ la valeur $0$ Affecter à $u$ la valeur $1$ Traitement : Tant que $u \leqslant 1{,}999$ $\quad$ Affecter à $u$ la valeur $\sqrt{2 u}$ $\quad$ Affecter à $n$ la valeur $n + 1$ Fin Tant que Sortie : Afficher $n$
- Pour tout entier naturel $n$ :