Exercice 4 (5 points)

Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]0 ;+\infty \right[$ par

et soit $\mathscr C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. La courbe $\mathscr C$ est donnée ci-dessous :

1. 1. Étudier la limite de $f$ en $0$.

   2. Que vaut $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x}$ ?

      En déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.

   3. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathscr C$.

2. 1. On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0 ;+\infty \right[$.

      Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0 ;+\infty \right[$,

      $f^{\prime}\left(x\right)=\frac{ - 1 - 2\ln \left(x\right)}{x^{3}}.$

   2. Résoudre sur l'intervalle $\left]0 ;+\infty \right[$ l'inéquation $- 1 - 2\ln\left(x\right) > 0$.

      En déduire le signe de $f^{\prime}\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left]0 ;+\infty \right[$.

   3. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.

3. 1. Démontrer que la courbe $\mathscr C$ a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.

   2. En déduire le signe de $f\left(x\right)$ sur l'intervalle $\left]0 ;+\infty \right[$.

4. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $I_{n}$ l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr C$ et les droites d'équations respectives $x=\frac{1}{e}$ et $x=n$.

   1. Démontrer que $0 \leqslant I_{2} \leqslant e - \frac{1}{2}$.

      On admet que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $\left]0 ;+00 \right[$ par $F\left(x\right)=\frac{ - 2 - \ln \left(x\right)}{x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left]0 ; +\infty \right[$.

   2. Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$.

   3. Étudier la limite de $I_{n}$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.