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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Logarithme Exponentielle - Bac S Amérique du Nord 2013

Exercice 4 (5 points)

Commun à tous les candidats

Soit ff la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[\left]0 ;+\infty \right[ par

f(x)=1+ln(x)x2f\left(x\right)=\frac{1+\ln \left(x\right)}{x^{2}}

et soit C\mathscr C la courbe représentative de la fonction ff dans un repère du plan. La courbe C\mathscr C est donnée ci-dessous :

Courbe - Bac S  Amérique du Nord 2013

    1. Étudier la limite de ff en 00.

    2. Que vaut limx+ln(x)x\lim\limits_{x \rightarrow +\infty } \frac{\ln \left(x\right)}{x} ?

      En déduire la limite de la fonction ff en ++ \infty .

    3. En déduire les asymptotes éventuelles à la courbe C\mathscr C.

    1. On note ff^{\prime} la fonction dérivée de la fonction ff sur l'intervalle ]0;+[\left]0 ;+\infty \right[.

      Démontrer que, pour tout réel xx appartenant à l'intervalle ]0;+[\left]0 ;+\infty \right[,

      f(x)=12ln(x)x3.f^{\prime}\left(x\right)=\frac{ - 1 - 2\ln \left(x\right)}{x^{3}}.

    2. Résoudre sur l'intervalle ]0;+[\left]0 ;+\infty \right[ l'inéquation 12ln(x)>0 - 1 - 2\ln\left(x\right) > 0.

      En déduire le signe de f(x)f^{\prime}\left(x\right) sur l'intervalle ]0;+[\left]0 ;+\infty \right[.

    3. Dresser le tableau des variations de la fonction ff.

    1. Démontrer que la courbe C\mathscr C a un unique point d'intersection avec l'axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.

    2. En déduire le signe de f(x)f\left(x\right) sur l'intervalle ]0;+[\left]0 ;+\infty \right[.

  1. Pour tout entier n1n \geqslant 1, on note InI_{n} l'aire, exprimée en unités d'aires, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe C\mathscr C et les droites d'équations respectives x=1ex=\frac{1}{e} et x=nx=n.

    1. Démontrer que 0I2e120 \leqslant I_{2} \leqslant e - \frac{1}{2}.

      On admet que la fonction FF définie sur l'intervalle ]0;+00[\left]0 ;+00 \right[ par F(x)=2ln(x)xF\left(x\right)=\frac{ - 2 - \ln \left(x\right)}{x} est une primitive de la fonction ff sur l'intervalle ]0;+[\left]0 ; +\infty \right[.

    2. Calculer InI_{n} en fonction de nn.

    3. Étudier la limite de InI_{n} en ++\infty . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.