Arithmétique - Bac S Amérique du Nord 2013 (spé)

Exercice 2 (spé) 5 points

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère l'algorithme suivant :

Variables :	$a$ est un entier naturel
	$b$ est un entier naturel
	$c$ est un entier naturel
Initialisation :	Affecter à $c$ la valeur $0$
	Demander la valeur de $a$
	Demander la valeur de $b$
Traitement :	Tant que $a > b$
	$\qquad$ Affecter à $c$ la valeur $c+1$
	$\qquad$ Affecter à $a$ la valeur $a - b$
	Fin de tant que
Sortie :	Afficher $c$
	Afficher $a$

Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 13$ et $b = 4$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
Que permet de calculer cet algorithme ?

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et $25$ .

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

On définit un procédé de codage de la façon suivante :

Étape 1 : À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.
Étape 2 : On calcule le reste de la division euclidienne de $9m+5$ par $26$ et on le note $p$ .
Étape 3 : Au nombre $p$ , on associe la lettre correspondante dans le tableau.

Coder la lettre U.
Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de $m$ entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de $p$ , calculée à l'aide du procédé de codage précédent.

Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x \equiv 1 \left[26\right]$ .
Démontrer alors l'équivalence :
$9m+5 \equiv p \left[26\right] \Leftrightarrow m\equiv 3p - 15 \left[26\right].$
Décoder alors la lettre B