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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Arithmétique - Bac S Amérique du Nord 2013 (spé)

Exercice 2 (spé)   5 points

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

On considère l'algorithme suivant :

Variables : aa est un entier naturel
bb est un entier naturel
cc est un entier naturel
Initialisation : Affecter à cc la valeur 00
Demander la valeur de aa
Demander la valeur de bb
Traitement : Tant que a>ba > b
\qquad Affecter à cc la valeur c+1c+1
\qquad Affecter à aa la valeur aba - b
Fin de tant que
Sortie : Afficher cc
Afficher aa

  1. Faire fonctionner cet algorithme avec a=13a = 13 et b=4b = 4 en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.

  2. Que permet de calculer cet algorithme ?

Partie B

À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre 00 et 2525.

A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
On définit un procédé de codage de la façon suivante :

  1. Coder la lettre U.

  2. Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de mm entrée par l'utilisateur, il affiche la valeur de pp, calculée à l'aide du procédé de codage précédent.

Partie C

  1. Trouver un nombre entier xx tel que 9x1[26]9x \equiv 1 \left[26\right].

  2. Démontrer alors l'équivalence :

    9m+5p[26]m3p15[26].9m+5 \equiv p \left[26\right] \Leftrightarrow m\equiv 3p - 15 \left[26\right].

  3. Décoder alors la lettre B