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Géometrie dans l'espace - Bac S Amérique du Nord 2013

Exercice 1   (5 points)

Commun à tous les candidats

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.

On considère les points A(0;4;1),B(1;3;0),C(2;−1;−2)A\left(0 ; 4 ; 1\right), B \left(1 ; 3 ; 0\right), C\left(2 ; - 1 ; - 2\right) et D(7;−1;4)D \left(7 ; - 1 ; 4\right).

  1. Démontrer que les points A,BA, B et CC ne sont pas alignés.

  2. Soit Δ\Delta la droite passant par le point DD et de vecteur directeur

    u⃗(2;−1;3)\vec{u} \left(2 ; - 1 ; 3\right).

    1. Démontrer que la droite Δ\Delta est orthogonale au plan (ABC)\left(ABC\right).

    2. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC)\left(ABC\right).

    3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ\Delta .

    4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite Δ\Delta et du plan (ABC)\left(ABC\right).

  3. Soit P1\mathscr P_{1} le plan d'équation x+y+z=0x+y+z=0 et P2\mathscr P_{2} le plan d'équation x+4y+2=0x+4y+2=0.

    1. Démontrer que les plans P1\mathscr P_{1} et P2\mathscr P_{2} sont sécants.

    2. Vérifier que la droite dd, intersection des plans P1\mathscr P_{1} et P2\mathscr P_{2}, a pour représentation paramétrique

      {x=−4t−2y=tz=3t+2t∈R\left\{ \begin{matrix} x = - 4t - 2 \\ y = t \\ z = 3t+2 \end{matrix}\right. \qquad t \in \mathbb{R}.

    3. La droite dd et le plan (ABC)\left(ABC\right) sont-ils sécants ou parallèles ?

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