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Suites et récurrence Exercices

Suites – Bac S Métropole 2013

Durée estimée
25 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Soit la suite numérique $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} = \dfrac{2}{3} u_n + \dfrac{1}{3} n + 1$
    1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.
    2. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant n + 3$.
    2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{3}(n + 3 - u_n)$.
    3. En déduire une validation de la conjecture précédente.

  3. On désigne par $(v_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = u_n - n$.

    1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$.
    2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2 \left(\dfrac{2}{3}\right)^n + n$.
    3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

  4. Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose :

    $S_n = \sum\limits_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_n$

    et

    $T_n = \dfrac{S_n}{n^2}$
    1. Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
    2. Déterminer la limite de la suite $(T_n)$.

Corrigé

On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 2$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \dfrac{2}{3} u_n + \dfrac{1}{3} n + 1$.

    1. On calcule les premières valeurs :
      $u_1 = \dfrac{2}{3} \times 2 + \dfrac{1}{3} \times 0 + 1 = \dfrac{4}{3} + 1 = \dfrac{7}{3} \approx 2{,}33$
      $u_2 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{7}{3} + \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{14}{9} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{14 + 12}{9} = \dfrac{26}{9} \approx 2{,}89$
      $u_3 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{26}{9} + \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{52}{27} + \dfrac{5}{3} = \dfrac{52 + 45}{27} = \dfrac{97}{27} \approx 3{,}59$
      $u_4 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{97}{27} + 1 + 1 = \dfrac{194}{81} + 2 = \dfrac{194 + 162}{81} = \dfrac{356}{81} \approx 4{,}40$

      $n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$
      $u_n$ $2$ $2{,}33$ $2{,}89$ $3{,}59$ $4{,}40$
    2. D'après ces valeurs, on conjecture que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
    1. On démontre par récurrence la propriété $P_n$ : « $u_n \leqslant n + 3$ ».
      Initialisation : pour $n = 0$, $u_0 = 2$ et $0 + 3 = 3$. On a bien $u_0 \leqslant 3$, donc $P_0$ est vraie.
      Hérédité : supposons $P_n$ vraie pour un entier $n$ fixé, soit $u_n \leqslant n + 3$. Montrons que $u_{n+1} \leqslant (n+1) + 3$, c'est-à-dire $u_{n+1} \leqslant n + 4$.
      De $u_n \leqslant n + 3$, on déduit successivement :
      $\dfrac{2}{3} u_n \leqslant \dfrac{2}{3}(n + 3) = \dfrac{2}{3} n + 2$
      $\dfrac{2}{3} u_n + \dfrac{1}{3} n + 1 \leqslant \dfrac{2}{3} n + 2 + \dfrac{1}{3} n + 1 = n + 3$
      soit $u_{n+1} \leqslant n + 3$. Comme $n + 3 \leqslant n + 4$, on a bien $u_{n+1} \leqslant n + 4$ : $P_{n+1}$ est vraie.
      Conclusion : pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant n + 3$.

    2. Pour tout entier naturel $n$ :
      $u_{n+1} - u_n = \dfrac{2}{3} u_n + \dfrac{1}{3} n + 1 - u_n = -\dfrac{1}{3} u_n + \dfrac{1}{3} n + 1 = \dfrac{1}{3}(n + 3 - u_n)$

      $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{3}(n + 3 - u_n)$
    3. D'après 2.a, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leqslant n + 3$, donc $n + 3 - u_n \geqslant 0$. Par conséquent $u_{n+1} - u_n \geqslant 0$ : la suite $(u_n)$ est croissante, ce qui valide la conjecture.

  3. Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n = u_n - n$.

    1. Pour tout entier naturel $n$ :
      $v_{n+1} = u_{n+1} - (n+1) = \dfrac{2}{3} u_n + \dfrac{1}{3} n + 1 - n - 1 = \dfrac{2}{3} u_n - \dfrac{2}{3} n = \dfrac{2}{3}(u_n - n) = \dfrac{2}{3} v_n$
      La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q = \dfrac{2}{3}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 0 = 2$.

    2. Pour tout entier naturel $n$ :

      $v_n = 2 \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$

      Comme $v_n = u_n - n$, on a $u_n = v_n + n$, d'où :

      $u_n = 2 \left(\dfrac{2}{3}\right)^n + n$

    3. Comme $\left|\dfrac{2}{3}\right| < 1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{2}{3}\right)^n = 0$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 2 \left(\dfrac{2}{3}\right)^n = 0$. Par ailleurs, $\lim\limits_{n \to +\infty} n = +\infty$. Par somme :

      $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = +\infty$

    1. On décompose $S_n$ :
      $S_n = \sum\limits_{k=0}^{n} u_k = \sum\limits_{k=0}^{n}(v_k + k) = \sum\limits_{k=0}^{n} v_k + \sum\limits_{k=0}^{n} k$
      La somme des $n+1$ premiers termes de la suite géométrique $(v_k)$ de raison $\dfrac{2}{3}$ vaut :
      $\sum\limits_{k=0}^{n} v_k = 2 \times \dfrac{1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{1 - \dfrac{2}{3}} = 2 \times 3 \left[1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right] = 6 \left[1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right]$
      D'autre part :
      $\sum\limits_{k=0}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$
      On obtient donc :

      $S_n = 6 \left[1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right] + \dfrac{n(n+1)}{2}$

    2. En développant, $S_n = 6 - 6 \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1} + \dfrac{n^2 + n}{2}$. Alors :
      $T_n = \dfrac{S_n}{n^2} = \dfrac{6}{n^2} - \dfrac{6}{n^2} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2 n}$
      Comme $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{6}{n^2} = 0$, $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{6}{n^2} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1} = 0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2 n} = 0$, on en déduit :

      $\lim\limits_{n \to +\infty} T_n = \dfrac{1}{2}$