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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites - Bac S Métropole 2013

Exercice 4   5 points

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit la suite numérique (un)\left(u_{n}\right) définie sur N\mathbb{N} par u0=2u_{0}=2 et pour tout entier naturel nn,

un+1=23un+13n+1.u_{n+1}=\frac{2}{3}u_{n}+\frac{1}{3}n+1.

    1. Calculer u1,u2,u3u_{1}, u_{2}, u_{3} et u4u_{4}. On pourra en donner des valeurs approchées à 10210^{ - 2} près.

    2. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

    1. Démontrer que pour tout entier naturel nn,

      unn+3.u_{n} \leqslant n+3.

    2. Démontrer que pour tout entier naturel nn,

      un+1un=13(n+3un).u_{n+1} - u_{n}=\frac{1}{3} \left(n+3 - u_{n}\right).

    3. En déduire une validation de la conjecture précédente.

  1. On désigne par (vn)\left(v_{n}\right) la suite définie sur N\mathbb{N} par vn=unnv_{n}=u_{n} - n.

    1. Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est une suite géométrique de raison 23\frac{2}{3}.

    2. En déduire que pour tout entier naturel nn,

      un=2(23)n+nu_{n}=2\left(\frac{2}{3}\right)^{n}+n

    3. Déterminer la limite de la suite (un)\left(u_{n}\right).

  2. Pour tout entier naturel non nul nn, on pose:

    Sn=k=0nuk=u0+u1+...+unS_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k}=u_{0}+u_{1}+. . .+u_{n}

    et

    Tn=Snn2.T_{n}=\frac{S_{n}}{n^{2}}.

    1. Exprimer SnS_{n} en fonction de nn.

    2. Déterminer la limite de la suite (Tn)\left(T_{n}\right).