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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites Matrices - Bac S spé Métropole 2013

Exercice 4   5 points

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1er janvier 2013, cette région comptait 250 000 habitants dont 70% résidaient à la campagne et 30% en ville.

L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :

Pour tout entier naturel nn, on note vnv_{n} le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1er janvier de l'année (2013+n)\left(2013+n\right) et cnc_{n} le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

  1. Pour tout entier naturel nn, exprimer vn+1v_{n+1} et cn+1c_{n+1} en fonction de vnv_{n} et cnc_{n}.

  2. Soit la matrice A=(0,9520,050,99)A=\begin{pmatrix} 0,95 & 2 \\ 0,05 & 0,99 \end{pmatrix}.

    On pose X=(ab)X=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}aa et bb sont deux réels fixés et Y=AXY=AX.

    Déterminer, en fonction de aa et bb, les réels cc et dd tels que Y=(cd)Y=\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}.

  3. Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel nn, Xn+1=AXnX_{n+1}=AX_{n}

    Xn=(vncn)X_{n}=\begin{pmatrix} v_{n} \\ c_{n} \end{pmatrix}.

    On peut donc en déduire que pour tout entier naturel n,Xn=AnX0n, X_{n}=A^{n} X_{0}.

    Soient les matrices P=(1251)P=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} et Q=(1251)Q=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ - 5 & 1 \end{pmatrix}.

    1. Calculer PQPQ et QPQP. En déduire la matrice P1P^{ - 1} en fonction de QQ.

    2. Vérifier que la matrice P1APP^{ - 1}AP est une matrice diagonale DD que l'on précisera.

    3. Démontrer que pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 11, An=PDnP1A^{n}=P D^{n} P^{ - 1}

  4. Les résultats des questions précédentes permettent d'établir que

    vn=16(1+5×0,94n)v0+16(10,94n)c0v_{n}=\frac{1}{6}\left(1+5\times 0,94^{n}\right) v_{0}+\frac{1}{6}\left(1 - 0,94^{n}\right) c_{0}

    Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme