Exercice 4   5 points

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1er janvier 2013, cette région comptait 250 000 habitants dont 70% résidaient à la campagne et 30% en ville.

L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :

• l'effectif de la population est globalement constant,

• chaque année, 5% de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1% de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.

Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1er janvier de l'année $\left(2013+n\right)$ et $c_{n}$ le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ et $c_{n}$.

2. Soit la matrice $A=\begin{pmatrix} 0,95 & 2 \\ 0,05 & 0,99 \end{pmatrix}$.

   On pose $X=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ où $a$ et $b$ sont deux réels fixés et $Y=AX$.

   Déterminer, en fonction de $a$ et $b$, les réels $c$ et $d$ tels que $Y=\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$.

3. Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}=AX_{n}$

   où $X_{n}=\begin{pmatrix} v_{n} \\ c_{n} \end{pmatrix}$.

   On peut donc en déduire que pour tout entier naturel $n, X_{n}=A^{n} X_{0}$.

   Soient les matrices $P=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$ et $Q=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ - 5 & 1 \end{pmatrix}$.

   1. Calculer $PQ$ et $QP$. En déduire la matrice $P^{ - 1}$ en fonction de $Q$.

   2. Vérifier que la matrice $P^{ - 1}AP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.

   3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, $A^{n}=P D^{n} P^{ - 1}$

4. Les résultats des questions précédentes permettent d'établir que

   $v_{n}=\frac{1}{6}\left(1+5\times 0,94^{n}\right) v_{0}+\frac{1}{6}\left(1 - 0,94^{n}\right) c_{0}$

   Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme