Exercice 2   7 points

Commun à tous les candidats

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right)$, la courbe représentative $\mathscr C$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left] 0 ;+\infty \right[$.

On dispose des informations suivantes :

• les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1, 0), (1, 2), (0, 2);

• la courbe $\mathscr C$ passe par le point B et la droite (BC) est tangente à $\mathscr C$ en B;

• il existe deux réels positifs $a$ et $b$ tels que pour tout réel strictement positif $x$,

  $f\left(x\right)=\frac{a+ b \ln x}{x}.$

1. 1. En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f\left(1\right)$ et $f^{\prime}\left(1\right)$.

   2. Vérifier que pour tout réel strictement positif $x, f^{\prime}\left(x\right)=\frac{\left(b - a\right) - b \ln x}{x^{2}}$.

   3. En déduire les réels $a$ et $b$

2. 1. Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0, +\infty \right[,: f^{\prime}\left(x\right)$ a le même signe que $- \ln x$.

   2. Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. On pourra remarquer que pour tout réel

      $x$ strictement positif, $f\left(x\right)=\frac{2}{x}+2 \frac{\ln x}{x}$.

   3. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$

3. 1. Démontrer que l'équation $f\left(x\right)=1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left]0, 1\right]$.

   2. Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel $\beta$ de l'intervalle

      $\left]1, +\infty \right[$ tel que $f\left(\beta \right)=1$.

      Déterminer l'entier $n$ tel que $n < \beta < n+1$.

4. On donne l'algorithme ci-dessous.

   Variables :	$a, b$ et $m$ sont des nombres réels.
   Initialisation :	Affecter à $a$ la valeur $0$.
   	Affecter à $b$ la valeur 1.
   Traitement :	Tant que $b - a > 0,1$
   	$\quad$ Affecter à $m$ la valeur $\frac{1}{2} \left(a+b\right)$.
   	$\quad$ Si $f\left(m\right) < 1$ alors
   	$\quad$ $\quad$ Affecter à $a$ la valeur $m$.
   	$\quad$ Sinon
   	$\quad$ $\quad$ Affecter à $b$ la valeur $m$.
   	$\quad$ Fin de Si.
   	Fin de Tant que.
   Sortie :	Afficher $a$.
   	Afficher $b$.

   1. Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.

      	étape 1	étape 2	étape 3	étape 4	étape 5
      $a$	0
      $b$	1
      $b - a$
      $m$

   2. Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?

   3. Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de $\beta$ d'amplitude --m-a-t-h-s-

5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe $10^{ - 1}$ partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales.

   1. Justifier que cela revient à démontrer que $\mathscr C$.

   2. En remarquant que l'expression de $\int_{\frac{1}{e}}^{1} f\left(x\right)dx=1$ peut s'écrire $f\left(x\right)$, terminer la démonstration.