Exercice 4 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
On considère la suite numérique \left(v_{n}\right) définie pour tout entier naturel n par
\left\{ \begin{matrix} v_{0}=1 \\ v_{n+1} =\frac{9}{6-v_{n}}\end{matrix}\right.
Partie A
- On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
Algorithme N° 1...Variables :
v est un réel
i et n sont des entiers naturels
Début de l'algorithme :
Lire n
v prend la valeur 1
Pour i variant de 1 à n faire
......v prend la valeur \frac{9}{6-v}
Fin pour
Afficher v
Fin algorithmeAlgorithme N° 2
...Variables :
v est un réel
i et n sont des entiers naturels
Début de l'algorithme :
Lire n
Pour i variant de 1 à n faire
......v prend la valeur 1
......Afficher v
......v prend la valeur \frac{9}{6-v}
Fin pour
Fin algorithmeAlgorithme N° 3
...Variables :
v est un réel
i et n sont des entiers naturels
Début de l'algorithme :
Lire n
v prend la valeur 1
Pour i variant de 1 à n faire
......Afficher v
......v prend la valeur \frac{9}{6-v}
Fin pour
Fin algorithme - Pour n=10 on obtient l'affichage suivant :
1 1,800 2,143 2,333 2,455 2,538 2,600 2,647 2,684 2,714 Pour n=100, les derniers termes affichés sont :
2,967 2,968 2,968 2,968 2,969 2,969 2,969 2,970 2,970 2,970 Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite \left(v_{n}\right) ?
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 0 < v_{n} < 3.
- Démontrer que, pour tout entier naturel n,: v_{n+1}-v_{n}=\frac{\left(3-v_{n} \right)^{2}}{6-v_{n}}.
La suite \left(v_{n}\right) est-elle monotone ? - Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est convergente.
Partie B
Recherche de la limite de la suite \left(v_{n}\right)
On considère la suite \left(w_{n}\right) définie pour tout n entier naturel par
w_{n}=\frac{1}{v_{n}-3}.
- Démontrer que \left(w_{n}\right) est une suite arithmétique de raison -\frac{1}{3}
- En déduire l'expression de \left(w_{n}\right), puis celle de \left(v_{n}\right) en fonction de n.
- Déterminer la limite de la suite \left(v_{n}\right).
Corrigé
Solution rédigée par Paki suites-bac-s-liban-2013