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Terminale S

difficulté moyenneExercice corrigé

Suites - Bac S Liban 2013

Exercice 4   (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite numérique \left(v_{n}\right) définie pour tout entier naturel n par
\left\{ \begin{matrix} v_{0}=1 \\ v_{n+1} =\frac{9}{6-v_{n}}\end{matrix}\right.

Partie A

  1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n.
    Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
    Algorithme N° 1

    ...Variables :
    v est un réel
    i et n sont des entiers naturels
    Début de l'algorithme :
    Lire n
    v prend la valeur 1
    Pour i variant de 1 à n faire
    ......v prend la valeur \frac{9}{6-v}
    Fin pour
    Afficher v
    Fin algorithme

    Algorithme N° 2

    ...Variables :
    v est un réel
    i et n sont des entiers naturels
    Début de l'algorithme :
    Lire n
    Pour i variant de 1 à n faire
    ......v prend la valeur 1
    ......Afficher v
    ......v prend la valeur \frac{9}{6-v}
    Fin pour
    Fin algorithme

    Algorithme N° 3

    ...Variables :
    v est un réel
    i et n sont des entiers naturels
    Début de l'algorithme :
    Lire n
    v prend la valeur 1
    Pour i variant de 1 à n faire
    ......Afficher v
    ......v prend la valeur \frac{9}{6-v}
    Fin pour
    Fin algorithme
  2. Pour n=10 on obtient l'affichage suivant :
    11,8002,1432,3332,4552,5382,6002,6472,6842,714

    Pour n=100, les derniers termes affichés sont :

    2,9672,9682,9682,9682,9692,9692,9692,9702,9702,970

    Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite \left(v_{n}\right) ?

    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 0 < v_{n} < 3.
    2. Démontrer que, pour tout entier naturel n,: v_{n+1}-v_{n}=\frac{\left(3-v_{n} \right)^{2}}{6-v_{n}}.
      La suite \left(v_{n}\right) est-elle monotone ?
    3. Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est convergente.

Partie B

Recherche de la limite de la suite \left(v_{n}\right)
On considère la suite \left(w_{n}\right) définie pour tout n entier naturel par
w_{n}=\frac{1}{v_{n}-3}.

  1. Démontrer que \left(w_{n}\right) est une suite arithmétique de raison -\frac{1}{3}
  2. En déduire l'expression de \left(w_{n}\right), puis celle de \left(v_{n}\right) en fonction de n.
  3. Déterminer la limite de la suite \left(v_{n}\right).

Corrigé

Solution rédigée par Paki

suites-bac-s-liban-2013
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Bac S Liban 2013

  • Exercice 1 : QCM Géometrie dans l'espace - Bac S Liban 2013
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  • Exercice 4 : Suites - Bac S Liban 2013

Dans ce chapitre...

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  • Suites et récurrence

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Méthodes

  • Algorithme de calcul des premiers termes d'une suite
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Compléments

  • Fiche de révision BAC : les suites

Vrai-Faux

  • assez facile Les suites (facile)

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