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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites - Bac S Liban 2013

Exercice 4   (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite numérique (vn)\left(v_{n}\right) définie pour tout entier naturel nn par

{v0=1vn+1=96vn\left\{ \begin{matrix} v_{0}=1 \\ v_{n+1} =\frac{9}{6 - v_{n}}\end{matrix}\right.

Partie A

  1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel nn donné, tous les termes de la suite, du rang 00 au rang nn.

    Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

    Algorithme N° 1

    Variables : vv est un réel ii et nn sont des entiers naturels Début de l'algorithme : Lire nn vv prend la valeur 11 Pour ii variant de 11 à nn faire vv prend la valeur 96v\frac{9}{6 - v} Fin pour Afficher vv Fin algorithme


    Algorithme N° 2

    Variables : vv est un réel ii et nn sont des entiers naturels Début de l'algorithme : Lire nn Pour ii variant de 11 à nn faire vv prend la valeur 11 Afficher vv vv prend la valeur 96v\frac{9}{6 - v} Fin pour Fin algorithme


    Algorithme N° 3

    Variables : vv est un réel ii et nn sont des entiers naturels Début de l'algorithme : Lire nn vv prend la valeur 11 Pour ii variant de 11 à nn faire Afficher vv vv prend la valeur 96v\frac{9}{6 - v} Fin pour Fin algorithme
  2. Pour n=10n=10 on obtient l'affichage suivant :

    1 1,800 2,143 2,333 2,455 2,538 2,600 2,647 2,684 2,714
    Pour n=100n=100, les derniers termes affichés sont :
    2,967 2,968 2,968 2,968 2,969 2,969 2,969 2,970 2,970 2,970

    Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (vn)\left(v_{n}\right) ?

    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel nn : 0<vn<3 0 < v_{n} < 3.

    2. Démontrer que, pour tout entier naturel nn : vn+1vn=(3vn)26vnv_{n+1} - v_{n}=\frac{\left(3 - v_{n} \right)^{2}}{6 - v_{n}}.

      La suite (vn)\left(v_{n}\right) est-elle monotone ?

    3. Démontrer que la suite (vn)\left(v_{n}\right) est convergente.

Partie B

Recherche de la limite de la suite (vn)\left(v_{n}\right)

On considère la suite (wn)\left(w_{n}\right) définie pour tout nn entier naturel par

wn=1vn3.w_{n}=\frac{1}{v_{n} - 3}.

  1. Démontrer que (wn)\left(w_{n}\right) est une suite arithmétique de raison 13 - \frac{1}{3}

  2. En déduire l'expression de (wn)\left(w_{n}\right), puis celle de (vn)\left(v_{n}\right) en fonction de nn.

  3. Déterminer la limite de la suite (vn)\left(v_{n}\right).