Suites - Bac S Liban 2013

Exercice 4   (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite numérique \left(v_{n}\right) définie pour tout entier naturel n par
\left\{ \begin{matrix} v_{0}=1 \\ v_{n+1} =\frac{9}{6-v_{n}}\end{matrix}\right.

Partie A

1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel n donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang n.
   Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.
   Algorithme N° 1
   ...Variables :
   v est un réel
   i et n sont des entiers naturels
   Début de l'algorithme :
   Lire n
   v prend la valeur 1
   Pour i variant de 1 à n faire
   ......v prend la valeur \frac{9}{6-v}
   Fin pour
   Afficher v
   Fin algorithme

   Algorithme N° 2

   ...Variables :
   v est un réel
   i et n sont des entiers naturels
   Début de l'algorithme :
   Lire n
   Pour i variant de 1 à n faire
   ......v prend la valeur 1
   ......Afficher v
   ......v prend la valeur \frac{9}{6-v}
   Fin pour
   Fin algorithme

   Algorithme N° 3

   ...Variables :
   v est un réel
   i et n sont des entiers naturels
   Début de l'algorithme :
   Lire n
   v prend la valeur 1
   Pour i variant de 1 à n faire
   ......Afficher v
   ......v prend la valeur \frac{9}{6-v}
   Fin pour
   Fin algorithme
2. Pour n=10 on obtient l'affichage suivant :
   

   1

   1,800

   2,143

   2,333

   2,455

   2,538

   2,600

   2,647

   2,684

   2,714

   Pour n=100, les derniers termes affichés sont :

   2,967

   2,968

   2,968

   2,968

   2,969

   2,969

   2,969

   2,970

   2,970

   2,970

   Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite \left(v_{n}\right) ?

3. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : 0 < v_{n} < 3.
   2. Démontrer que, pour tout entier naturel n,: v_{n+1}-v_{n}=\frac{\left(3-v_{n} \right)^{2}}{6-v_{n}}.
      La suite \left(v_{n}\right) est-elle monotone ?
   3. Démontrer que la suite \left(v_{n}\right) est convergente.

Partie B

Recherche de la limite de la suite \left(v_{n}\right)
On considère la suite \left(w_{n}\right) définie pour tout n entier naturel par
w_{n}=\frac{1}{v_{n}-3}.

1. Démontrer que \left(w_{n}\right) est une suite arithmétique de raison -\frac{1}{3}
2. En déduire l'expression de \left(w_{n}\right), puis celle de \left(v_{n}\right) en fonction de n.
3. Déterminer la limite de la suite \left(v_{n}\right).