Exponentielle - Bac S Liban 2013
Exercice 3 (6 points)
Commun à tous les candidats
Étant donné un nombre réel , on considère la fonction définie sur par
Le plan est muni d'un repère orthonormé .
Partie A
Dans cette partie on choisit . On a donc, pour tout réel : .
La représentation graphique de la fonction dans le repère est donnée en Annexe, à rendre avec la copie.
Déterminer les limites de en et en et interpréter graphiquement les résultats obtenus.
Démontrer que, pour tout réel .
On appelle la fonction dérivée de sur . Calculer, pour tout réel .
En déduire les variations de la fonction sur .
On définit le nombre .
Montrer que .
Donner une interprétation graphique de .
Partie B
Dans cette partie, on choisit et on souhaite tracer la courbe représentant la fonction .
Pour tout réel , on appelle le point de d'abscisse et le point de d'abscisse .
On note le milieu du segment .
Montrer que, pour tout réel .
En déduire que le point appartient à la droite d'équation .
Tracer la courbe sur l'Annexe, à rendre avec la copie.
En déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les courbes , l'axe des ordonnées et la droite d'équation .
Partie C
Dans cette partie, on ne privilégie pas de valeur particulière du paramètre .
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
Quelle que soit la valeur du nombre réel , la représentation graphique de la fonction est strictement comprise entre les droites d'équations et .
Quelle que soit la valeur du réel , la fonction est strictement croissante.
Pour tout réel .
Annexe