Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Close

QCM Géometrie dans l'espace - Bac S Liban 2013

Exercice 1   (4 points)

Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte.

Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point. On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la proposition choisie.

L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗,k⃗)\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right).

Les points A,B,CA, B, C et DD ont pour coordonnées respectives A(1;−1;2),B(3;3;8),C(−3;5;4)A\left(1 ; - 1 ; 2\right), B\left(3 ; 3 ; 8\right), C\left( - 3 ; 5 ; 4\right) et D(1;2;3)D\left(1 ; 2 ; 3\right).

On note D\mathscr D la droite ayant pour représentation paramétrique

{x=t+1y=2t−1z=3t+2t∈R\left\{ \begin{matrix} x=t+1 \\ y=2t - 1 \\ z=3t+2 \end{matrix}\right. t \in \mathbb{R}

et D′\mathscr D ^{\prime} la droite ayant pour représentation paramétrique

{x=k+1y=k+3z=−k+4k∈R\left\{ \begin{matrix} x=k+1 \\ y=k+3 \\ z= - k+4 \end{matrix}\right. k \in \mathbb{R}.

On note P\mathscr P le plan d'équation x+y−z+2=0x+y - z+2=0.

Question 1 :

Proposition a. Les droites D\mathscr D et D′\mathscr D ^{\prime} sont parallèles.

Proposition b. Les droites D\mathscr D et D′\mathscr D ^{\prime} sont coplanaires.

Proposition c. Le point CC appartient à la droite D\mathscr D.

Proposition d. Les droites D\mathscr D et D′\mathscr D ^{\prime} sont orthogonales.

Question 2 :

Proposition a. Le plan P\mathscr P contient la droite D\mathscr D et est parallèle à la droite D′\mathscr D ^{\prime}.

Proposition b. Le plan P\mathscr P contient la droite D′\mathscr D ^{\prime} et est parallèle à la droite D\mathscr D.

Proposition c. Le plan P\mathscr P contient la droite D\mathscr D et est orthogonal à la droite D′\mathscr D ^{\prime}.

Proposition d. Le plan P\mathscr P contient les droites D\mathscr D et D′\mathscr D ^{\prime}.

Question 3 :

Proposition a. Les points A,DA, D et CC sont alignés.

Proposition b. Le triangle ABCABC est rectangle en AA. Proposition c. Le triangle ABCABC est équilatéral.

Proposition d. Le point DD est le milieu du segment [AB]\left[AB\right].

Question 4 :

On note P′\mathscr P ^{\prime} le plan contenant la droite D′\mathscr D ^{\prime} et le point AA. Un vecteur normal à ce plan est :

Proposition a. n⃗(−1;5;4) \vec{n} \left( - 1 ; 5 ; 4\right)

Proposition b. n⃗(3;−1;2) \vec{n} \left(3 ; - 1 ; 2\right)

Proposition c. n⃗(1;2;3) \vec{n} \left(1 ; 2 ; 3\right)

Proposition d. n⃗(1;1;−1) \vec{n} \left(1 ; 1 ; - 1\right)

Corrigé

Question 1 :

Proposition d. Les droites D\mathscr D et D′\mathscr D ^{\prime} sont orthogonales.

Un vecteur directeur de D\mathscr D est u⃗(1;2;3)\vec{u}\left(1 ; 2 ; 3\right); un vecteur directeur de D′\mathscr D ^{\prime} est u⃗′(1;1;−1)\vec{u}^{\prime}\left(1 ; 1 ; - 1\right);

u⃗.u⃗′=1×1+2×1+3×(−1)=0\vec{u}.\vec{u}^{\prime}=1\times 1+2\times 1+3\times \left( - 1\right)=0

Les vecteurs u⃗\vec{u} et u⃗′\vec{u}^{\prime} sont orthogonaux donc les droites D\mathscr D et D′\mathscr D ^{\prime} sont orthogonales.

Question 2 :

Proposition c. Le plan P\mathscr P contient la droite D\mathscr D et est orthogonal à la droite D′\mathscr D ^{\prime}.

Si M(x;y;z)∈DM\left(x ; y ; z\right) \in \mathscr D, il existe un réel tt tel que {x=t+1y=2t−1z=3t+2\left\{ \begin{matrix} x=t+1 \\ y=2t - 1 \\ z=3t+2 \end{matrix}\right.

On a alors x+y−z+2=t+1+(2t−1)−(3t+2)+2=0x+y - z+2=t+1+\left(2t - 1\right) - \left(3t+2\right)+2=0 donc M(x;y;z)∈PM\left(x ; y ; z\right) \in \mathscr P.

Le plan P\mathscr P contient donc la droite D\mathscr D.

u⃗′(1;1;−1)\vec{u}^{\prime}\left(1 ; 1 ; - 1\right) est un vecteur directeur de D′\mathscr D ^{\prime} et un vecteur normal de P\mathscr P donc le plan P\mathscr P est orthogonal à la droite D′\mathscr D ^{\prime}.

Question 3 :

Proposition c. Le triangle ABCABC est équilatéral.

On a : AB→(2;4;6)\overrightarrow{AB}\left(2 ; 4 ; 6\right) , BC→(−6;2;−4)\overrightarrow{BC} \left( - 6 ; 2 ; - 4\right) , AC→(−4;6;2)\overrightarrow{AC}\left( - 4 ; 6 ; 2\right)

AB=22+42+62=56=214AB=\sqrt{2^{2}+ 4^{2}+ 6^{2}}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}

BC=(−6)2+22+(−4)2=56=214BC=\sqrt{\left( - 6\right)^{2}+ 2^{2}+ \left( - 4\right)^{2}}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}

AC=(−4)2+62+(2)2=56=214AC=\sqrt{\left( - 4\right)^{2}+ 6^{2}+ \left(2\right)^{2}}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}

donc le triangle ABCABC est équilatéral.

Question 4 :

Proposition b. n⃗(3;−1;2) \vec{n} \left(3 ; - 1 ; 2\right)

Prenons un point quelconque de D′\mathscr D ^{\prime} par exemple E(1;3;4)E\left(1 ; 3 ; 4\right) (il correspond à k=0k=0).

Le vecteur AE→(0,4,2)\overrightarrow{AE} \left(0, 4, 2\right) est un vecteur du plan P′\mathscr P ^{\prime}.

u⃗′(1;1;−1)\vec{u}^{\prime}\left(1 ; 1 ; - 1\right) est un vecteur directeur de D′\mathscr D ^{\prime} donc lui aussi un vecteur du plan P′\mathscr P ^{\prime}.

AE→\overrightarrow{AE} et u⃗′\vec{u}^{\prime} ne sont pas colinéaires.

Pour n⃗(3;−1;2)\vec{n} \left(3 ; - 1 ; 2\right):

AE→.n⃗=0×3+4×(−1)+2×2=0\overrightarrow{AE}.\vec{n}=0\times 3+4\times \left( - 1\right)+2\times 2=0

u⃗′.n⃗=1×3+1×(−1)+(−1)×2=0\vec{u}^{\prime}.\vec{n}=1\times 3+1\times \left( - 1\right)+\left( - 1\right)\times 2=0

n⃗(3;−1;2)\vec{n} \left(3 ; - 1 ; 2\right) est orthogonal à 2 vecteurs non colinéaires de P′\mathscr P ^{\prime} donc c'est un vecteur normal à P′\mathscr P ^{\prime}.

Autres exercices de ce sujet :

Dans ce chapitre :

Cours

Exercices