Exercice 1 (6 points)

Commun à tous les candidats

Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes. Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques.

Partie A

La durée de vie d'une vanne, exprimée en heures, est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda =0,0002$.

1. Quelle est la durée de vie moyenne d'une vanne ?

2. Calculer la probabilité, à 0,001 près, que la durée de vie d'une vanne soit supérieure à 6 000 heures.

Partie B

Avec trois vannes identiques $V_{1}$, $V_{2}$ et $V_{3}$, on fabrique le circuit hydraulique ci-contre.

Le circuit est en état de marche si $V_{1}$ est en état de marche ou si $V_{2}$ et $V_{3}$ le sont simultanément.

On assimile à une expérience aléatoire le fait que chaque est ou n'est pas en état de marche après 6 000 heures. On note :

• $F_{1}$ I'événement : "la vanne $V_{1}$ est en état de marche après 6 000 heures."

• $F_{2}$ I'événement : "la vanne $V_{2}$ est en état de marche après 6 000 heures."

• $F_{3}$ I'événement : "la vanne $V_{3}$ est en état de marche après 6 000 heures."

• $E$ : I'événement : "le circuit est en état de marche après 6 000 heures.

On admet que les événements $F_{1}$, $F_{2}$ et $F_{3}$ sont deux à deux indépendants et ont chacun une probabilité égale à 0,3.

1. L'arbre probabiliste ci-dessous représente une partie de la situation.

   

   Reproduire cet arbre et placer les probabilités sur les branches.

2. Démontrer que $p\left(E\right)=0,363$.

3. Sachant que le circuit est en état de marche après 6 000 heures, calculer la probabilité que la vanne $V_{1}$ soit en état de marche à ce moment là. Arrondir au millième.

Partie C

L 'industriel affirme que seulement 2% des vannes qu'il fabrique sont défectueuses. On suppose que cette affirmation est vraie, et l'on note $F$ la variable aléatoire égale à la fréquence de vannes défectueuses dans un échantillon aléatoire de 400 vannes prises dans la production totale.

1. Déterminer l'intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la variable $F$,

2. On choisit 400 vannes au hasard dans la production, On assimile ce choix à un tirage aléatoire de 400 vannes, avec remise, dans la production.

   Parmi ces 400 vannes, 10 sont défectueuses.

   Au vu de ce résultat peut-on remettre en cause. au seuil de 95% l'affirmation de l'industriel ?

Partie D

Dans cette partie, les probabilités calculées seront arrondies au millième. L'industriel commercialise ses vannes auprès de nombreux clients, La demande mensuelle est une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu =800$ et d'écart-type $\sigma =40$.

1. Déterminer $P\left(760\leqslant D\leqslant 840\right)$.

2. Déterminer $P\left(D\leqslant 880\right)$.

3. L'industriel pense que s'il constitue un stock mensuel de 880 vannes, il n'aura pas plus de 1% de chance d'être en rupture de stock. A-t-il raison ?