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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Intégrales - Bac S Centres étrangers 2013

Exercice 2   (4 points)

Commun à tous les candidats

On considère la fonction gg définie pour tout réel xx de l'intervalle [0;1]\left[0 ; 1\right] par : g(x)=1+exg\left(x\right)=1+e^{ - x}.

On admet que, pour tout réel xx de l'intervalle [0;1]\left[0 ; 1\right], g(x)>0g\left(x\right) > 0.

On note C\mathscr C la courbe représentative de la fonction gg dans un repère orthogonal, et D\mathscr D le domaine plan compris d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe C\mathscr C, d'autre part entre les droites d'équation x=0x=0 et x=1x=1 .

La courbe C\mathscr C et le domaine D\mathscr D sont représentés ci-dessous.

Intégrales - Bac S-1

Le but de cet exercice est de partager le domaine D\mathscr D en deux domaines de même aire, d'abord par une droite parallèle à l' axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'axe des abscisses (partie B).

Partie A

Soit aa un réel tel que 0a10\leqslant a\leqslant 1.

On note A1\mathscr A_{1} l'aire du domaine compris entre la courbe C\mathscr C, l'axe (Ox)\left(Ox\right),les droites d'équation x=0x=0 et x=ax =a , puis A2\mathscr A_{2} celle du domaine compris entre la courbe C\mathscr C, l'axe (Ox)\left(Ox\right) et les droites d'équation x=ax=a et x=1x=1.

A1\mathscr A_{1} et A2\mathscr A_{2} sont exprimées en unités d'aire.

Intégrales - Bac S-2

    1. Démontrer que A1=aea+1\mathscr A_{1}=a - e^{ - a}+1.

    2. Exprimer A2\mathscr A_{2} en fonction de aa.

  1. Soit ff la fonction définie pour tout réel xx de l'intervalle [0;1]\left[0 ; 1\right] par : f(x)=2x2ex+1ef\left(x\right)=2x - 2e^{ - x}+\frac{1}{e}.

    1. Dresser le tableau de variation de la fonction ff sur l'intervalle [0;1]\left[0 ; 1\right]. On précisera les valeurs exactes de f(0)f\left(0\right) et f(1)f\left(1\right).

    2. Démontrer que la fonction ff s'annule une fois et une seule sur l'intervalle [0;1]\left[0 ; 1\right]. en un réel α\alpha . Donner la valeur de α\alpha arrondie au centième.

  2. En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée de réel aa pour lequel les aires A1\mathscr A_{1} et A2\mathscr A_{2} sont égales.

Partie B

Dans cette partie, on se propose de partager le domaine D\mathscr D en deux domaines de même aire par la droite d'équation y=by=b. On admet qu'Il existe un unique réel bb positif solution.

  1. Justifier l'inégalité b<1+1eb < 1+\frac{1}{e}. On pourra utiliser un argument graphique.

  2. Déterminer la valeur exacte du réel bb