Intégrales - Bac S Centres étrangers 2013
Exercice 2 (4 points)
Commun à tous les candidats
On considère la fonction définie pour tout réel de l'intervalle par : .
On admet que, pour tout réel de l'intervalle , .
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal, et le domaine plan compris d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe , d'autre part entre les droites d'équation et .
La courbe et le domaine sont représentés ci-dessous.
Le but de cet exercice est de partager le domaine en deux domaines de même aire, d'abord par une droite parallèle à l' axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'axe des abscisses (partie B).
Partie A
Soit un réel tel que .
On note l'aire du domaine compris entre la courbe , l'axe ,les droites d'équation et , puis celle du domaine compris entre la courbe , l'axe et les droites d'équation et .
et sont exprimées en unités d'aire.
Démontrer que .
Exprimer en fonction de .
Soit la fonction définie pour tout réel de l'intervalle par : .
Dresser le tableau de variation de la fonction sur l'intervalle . On précisera les valeurs exactes de et .
Démontrer que la fonction s'annule une fois et une seule sur l'intervalle . en un réel . Donner la valeur de arrondie au centième.
En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée de réel pour lequel les aires et sont égales.
Partie B
Dans cette partie, on se propose de partager le domaine en deux domaines de même aire par la droite d'équation . On admet qu'Il existe un unique réel positif solution.
Justifier l'inégalité . On pourra utiliser un argument graphique.
Déterminer la valeur exacte du réel
