Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Suites et récurrence

I - Démonstration par récurrence

Théorème

Soit P(n)P\left(n\right) une proposition qui dépend d'un entier naturel nn.

  • Si P(n0)P\left(n_{0}\right) est vraie (initialisation)

  • Et si P(n)P\left(n\right) vraie entraîne P(n+1)P\left(n+1\right) vraie (hérédité)

alors la propriété P(n)P\left(n\right) est vraie pour tout entier nn0n\geqslant n_{0}

Remarques

  • La démonstration par récurrence s'apparente au "principe des dominos" :

    dominos et récurrence

  • L'étape d'initialisation est souvent facile à démontrer ; toutefois, faites attention à ne pas l'oublier !

  • Pour prouver l'hérédité, on suppose que la propriété est vraie pour un certain entier nn (cette supposition est appelée hypothèse de récurrence) et on démontre qu'elle est alors vraie pour l'entier n+1n+1. Pour cela, il est conseillé d'écrire ce que signifie P(n+1)P\left(n+1\right) (que l'on souhaite démontrer), en remplaçant nn par n+n+1 dans la propriété P(n)P\left(n\right)

Exemple

Montrons que pour tout entier n strictement positif 1+2+...+n=n(n+1)21+2+. . .+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}.

Initialisation

On commence à n0=1n_{0}=1 car l'énoncé précise "strictement positif".

La proposition devient :

1=1×221=\frac{1\times 2}{2}

ce qui est vrai.

Hérédité

On suppose que pour un certain entier nn:

1+2+...+n=n(n+1)21+2+. . .+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2} (Hypothèse de récurrence)

et on va montrer qu'alors :

1+2+...+n+1=(n+1)(n+2)21+2+. . .+n+1=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2} (on a remplacé nn par n+1n+1 dans la formule que l'on souhaite prouver).

Isolons le dernier terme de notre somme

1+2+...+n+1=(1+2+...+n)+n+11+2+. . .+n+1=\left(1+2+. . . +n\right) + n+1

On applique maintenant notre hypothèse de récurrence à 1+2+...+n1+2+. . . +n:

1+2+...+n+1=n(n+1)2+n+1=n(n+1)2+2(n+1)2=n(n+1)+2(n+1)21+2+. . .+n+1=\frac{n\left(n+1\right)}{2}+n+1=\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{2\left(n+1\right)}{2}=\frac{n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)}{2}

1+2+...+n+1=(n+1)(n+2)21+2+. . .+n+1=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}

ce qui correspond bien à ce que nous voulions montrer.

En conclusion nous avons bien prouvé que pour pour tout entier n strictement positif :

1+2+...+n=n(n+1)21+2+. . .+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}.

II - Sens de variation - Suites majorées, minorées

Définitions (rappel)

  • On dit que la suite (un)\left(u_{n}\right) est croissante si pour tout entier naturel nn : un+1unu_{n+1} \geqslant u_{n}

  • On dit que la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement croissante si pour tout entier naturel nn : un+1>unu_{n+1} > u_{n}

  • On dit que la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante si pour tout entier naturel nn : un+1unu_{n+1} \leqslant u_{n}

  • On dit que la suite (un)\left(u_{n}\right) est strictement décroissante si pour tout entier naturel nn : un+1<unu_{n+1} < u_{n}

  • On dit que la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante si pour tout entier naturel nn : un+1=unu_{n+1} = u_{n}

Définitions

  • On dit que la suite (un)\left(u_{n}\right) est majorée par le réel MM si tout entier naturel nn : unMu_{n} \leqslant M.

    MM s'appelle alors un majorant de la suite (un)\left(u_{n}\right)

  • On dit que la suite (un)\left(u_{n}\right) est minorée par le réel mm si pour tout entier naturel nn : unmu_{n} \geqslant m.

    mm s'appelle un minorant de la suite (un)\left(u_{n}\right)

Remarque

Si la suite (un)\left(u_{n}\right) est majorée (ou minorée), les majorants (ou minorants) ne sont pas uniques. Bien au contraire, si MM est un majorant de la suite (un)\left(u_{n}\right), tout réel supérieur à MM est aussi un majorant de la suite (un)\left(u_{n}\right)

Exemple

Soit la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par :

{u0=1un+1=un2+1pour toutnN\left\{ \begin{matrix} u_{0}=1 \\ u_{n+1} =u_{n}^{2}+1 \end{matrix}\right.\text{pour tout} n \in \mathbb{N}

On vérifie aisément que pour tout nNn \in \mathbb{N}, unu_{n} est supérieur ou égal à 11 donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est minorée par 11. Par contre cette suite n'est pas majorée (on peut, par exemple, démonter par récurrence que pour tout nNn \in \mathbb{N} un>nu_{n} > n.

III - Convergence - Limite

Définition

On dit que la suite (un)(u_{n}) converge vers le nombre réel ll (ou admet pour limite le nombre réel ll) si tout intervalle ouvert contenant ll contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

On note alors limn+un=l\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=l

Exemple

suite convergente

Suite convergeant vers ll

Remarques

  • Une suite qui n'est pas convergente (c'est à dire qui n'a pas de limite ou qui a une limite infinie - voir ci-dessous) est dite divergente.

  • La limite, si elle existe, est unique.

Exemple

Les suites définies pour n>0n > 0 par un=1nku_{n}=\frac{1}{n^{k}}kk est un entier strictement positif, convergent vers zéro

Définition

On dit que la suite unu_{n} admet pour limite ++\infty si tout intervalle de la forme ]A;+[\left]A;+\infty \right[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Exemple

Les suites définies pour n>0n > 0 par un=nku_{n}=n^{k}kk est un entier strictement positif, divergent vers ++\infty

Théorème (des gendarmes)

Si les suites (vn)\left(v_{n}\right) et (wn)\left(w_{n}\right) convergent vers la même limite ll et si vnunwnv_{n}\leqslant u_{n}\leqslant w_{n} pour tout entier nn à partir d'un certain rang, alors la suite (un)\left(u_{n}\right) converge vers ll.

Exemple

Soit la suite définie pour n>0n > 0 par un=sin(n)nu_{n}=\frac{\sin\left(n\right)}{n}.

On sait que pour tout nn, 1sin(n)1 - 1\leqslant \sin\left(n\right)\leqslant 1 donc 1nsin(n)n1n - \frac{1}{n}\leqslant \frac{\sin\left(n\right)}{n}\leqslant \frac{1}{n}.

Or les suites (vn)\left(v_{n}\right) et (wn)\left(w_{n}\right) définie sur N\mathbb{N}^* par vn=1nv_{n}= - \frac{1}{n} et wn=1nw_{n}=\frac{1}{n} convergent vers zéro donc, d'après le théorème des gendarmes (un)\left(u_{n}\right) converge vers zéro.

Théorème

Soient deux suites (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) telles que pour tout nNn \in \mathbb{N}, unvnu_{n}\geqslant v_{n}.

Si limn+vn=+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }v_{n}=+\infty , alors limn+un=+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty

Théorème

Une suite croissante et majorée est convergente.

Une suite décroissante et minorée est convergente.

Remarques

  • Ce théorème est fréquemment utilisé dans les exercices

  • Ce théorème permet de montrer qu'une suite est convergente mais, à lui seul, il ne permet pas de trouver la valeur de la limite ll

Exemple

Un cas particulier assez fréquent est celui d'une suite décroissante et positive. Puisqu'elle est positive, elle est minorée par zéro, donc d'après le théorème précédent, elle est convergente.

Théorème (limite d'une suite géométrique)

Soit (un)\left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison qq.

  • Si 1<q<1 - 1 < q < 1 la suite (un)\left(u_{n}\right) converge vers 0

  • Si q>1q > 1 la suite (un)\left(u_{n}\right) tend vers ++\infty

  • Si q1q\leqslant - 1 la suite (un)\left(u_{n}\right) n'a pas de limite.

Remarque

Si q=1q=1 la suite (un)\left(u_{n}\right) est constante (donc convergente)

Exemple

limn+(23)n=0\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=0 (suite géométrique de raison q=23<1q=\frac{2}{3} < 1)

limn+(43)n=+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\left(\frac{4}{3}\right)^{n}=+\infty (suite géométrique de raison q=43>1q=\frac{4}{3} > 1)