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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Vrai/Faux : Convergence d'une suite

Pour chacune des questions indiquer si l'affirmation est exacte en justifiant la réponse.

  1. Si (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) sont des suites dont tous les termes sont positifs et si la suite (un)\left(u_{n}\right) diverge vers ++\infty , alors la suite de terme général un+vnu_{n}+v_{n} diverge vers ++\infty .

  2. Si la suite (un)\left(u_{n}\right) diverge vers ++\infty , alors elle est croissante à partir d'un certain rang.

  3. Soient trois suites numériques (un),(vn)\left(u_{n}\right), \left(v_{n}\right) et (wn)\left(w_{n}\right).

    Si les suites (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) convergent respectivement vers ll et ll^{\prime} et si pour tout nNn \in \mathbb{N} unwnvnu_{n} \leqslant w_{n} \leqslant v_{n} alors la suite wnw_{n} converge et sa limite est comprise entre ll et ll^{\prime}.

  4. Si la suite (un)\left(u_{n}\right) n'est pas majorée, elle diverge nécessairement vers ++\infty .

Corrigé

  1. Vrai

    Du fait que pour tout entier naturel nn vn0v_{n} \geqslant 0 on en déduit que un+vnunu_{n}+v_{n} \geqslant u_{n}.

    Comme limn+un=+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty on en déduit limn+un+vn=+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}+v_{n}=+\infty (voir Théorème).

  2. Faux

    Considérons par exemple la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par un=n+(1)nu_{n}=n+\left( - 1\right)^{n}

    On a (1)n1\left( - 1\right)^{n} \geqslant - 1 (car (1)n\left( - 1\right)^{n} vaut 1 - 1 ou 11)

    n+(1)nn1n+\left( - 1\right)^{n} \geqslant n - 1

    unn1u_{n} \geqslant n - 1

    Comme limn+n1=+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }n - 1=+\infty , limn+un=+\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty

    Mais la suite (un)\left(u_{n}\right) n'est pas croissante (même à partir d'un certain rang) car si nn est pair :

    un=n+(1)n=n+1u_{n}=n+\left( - 1\right)^{n}=n+1

    un+1=n+1+(1)n+1=n+11=nu_{n+1}=n+1+\left( - 1\right)^{n+1}=n+1 - 1=n (en effet n+1n+1 est impair donc (1)n+1=1\left( - 1\right)^{n+1}= - 1)

    Par conséquent :

    un+1un=n(n+1)=1<0u_{n+1} - u_{n} =n - \left(n+1\right)= - 1 < 0

    La représentation graphique de la suite ci-dessous devrait aider à comprendre le raisonnement :

    suite divergente non croissante

    Suite divergente vers ++\infty mais non croissante

  3. Faux

    Il suffit de prendre pour uu et vv les suites constantes :

    un=1u_{n}= - 1 pour tout nNn \in \mathbb{N}

    vn=+1v_{n}=+1 pour tout nNn \in \mathbb{N}

    et pour ww :

    wn=(1)nw_{n}=\left( - 1\right)^{n} pour tout nNn \in \mathbb{N}

    (un)\left(u_{n}\right) et (vn)\left(v_{n}\right) convergent respectivement vers 1 - 1 et 11 mais (wn)\left(w_{n}\right) ne converge pas.

    Remarques :

    ♦  Par contre si ww convergeait, on pourrait effectivement dire que sa limite est comprise entre les limites de uu et de vv.

    ♦  On ne peut pas appliquer le théorème des gendarmes ici car le théorème des gendarmes suppose que uu et vv aient la même limite.

  4. Faux

    La suite (un)\left(u_{n}\right) définie par un=(1)n×nu_{n}=\left( - 1\right)^{n}\times n n'est pas majorée car pour nn pair un=nu_{n}=n.

    Par contre, elle ne diverge pas vers ++\infty car pour nn impair un=nu_{n}= - n est négatif.

Suite non majorée et non minorée

Suite non majorée mais ne tendant pas vers ++\infty