Suites Matrices - Bac S Polynésie 2013 (Spé)
Exercice 4 (5 points)
Candidats ayant suivis l'enseignement de spécialité mathématiques
Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l'évolution de nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.
En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers d'abonnés.
Pour tout entier naturel n, on note an le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur A la n-ième année après 2013, et bn le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur B la n-ième année après 2013.
Ainsi, a0=300 et b0=300.
Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :
pour tout entier naturel n,
{an+1=0,7an+0,2bn+60bn+1=0,1an+0,6bn+70.
On considère les matrices M=(0,70,10,20,6) et P=(6070)
Pour tout entier naturel n, on note Un=(anbn).
Déterminer U1.
Vérifier que, pour tout entier naturel n, Un+1=M×Un+P
On note I la matrice (1021)
Calculer (I−M)×(4123)
En déduire que la matrice I−M est inversible et préciser son inverse.
Déterminer la matrice U telle que U=M×U+P
Pour tout entier naturel, on pose Vn=Un−U.
Justifier que, pour tout entier naturel n, Vn+1=M×Vn.
En déduire que, pour tout entier naturel n, Vn=Mn×V0
On admet que, pour tout entier naturel n, Vn=⎝⎛−3100×0,8n−3140×0,5n−350×0,8n+3140×0,5n⎠⎞
Pour tout entier naturel n, exprimer Un en fonction de n et en déduire la limite de la suite (an).
Estimer le nombre d'abonnés de l'opérateur A à long terme
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