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Suites et récurrence Exercices

Suites – Bac S Asie 2013

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Partie A

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} = \dfrac{1 + 3 u_n}{3 + u_n}$

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n > 1$.

    1. Établir que, pour tout entier naturel $n$ :

      $u_{n+1} - u_n = \dfrac{(1 - u_n)(1 + u_n)}{3 + u_n}$
    2. Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} = \dfrac{1 + 0{,}5 \, u_n}{0{,}5 + u_n}$

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. On considère l'algorithme suivant :

    Entrée Soit un entier naturel non nul $n$
    Initialisation Affecter à $u$ la valeur $2$
    Traitement et sortie POUR $i$ allant de $1$ à $n$
      $\quad$ Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0{,}5 \, u}{0{,}5 + u}$
      $\quad$ Afficher $u$
      FIN POUR

    Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.

    $i$ $1$ $2$ $3$
    $u$      

  2. Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :

    $i$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $11$ $12$
    $u$ $1{,}0083$ $0{,}9973$ $1{,}0009$ $0{,}9997$ $1{,}0001$ $0{,}99997$ $1{,}00001$ $0{,}999996$ $1{,}000001$

    Conjecturer le comportement de la suite $(u_n)$ à l'infini.

  3. On considère la suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 1}$.

    1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $-\dfrac{1}{3}$.
    2. Calculer $v_0$ puis écrire $v_n$ en fonction de $n$.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_n \neq 1$.
    2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{1 + v_n}{1 - v_n}$.
    3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Corrigé

Partie A

  1. On démontre par récurrence la propriété $P_n$ : « $u_n > 1$ ».
    Initialisation : $u_0 = 2 > 1$, donc $P_0$ est vraie.
    Hérédité : supposons $P_n$ vraie pour un entier $n$ fixé, soit $u_n > 1$. Alors :
    $u_{n+1} - 1 = \dfrac{1 + 3 u_n}{3 + u_n} - 1 = \dfrac{1 + 3 u_n - 3 - u_n}{3 + u_n} = \dfrac{2 u_n - 2}{3 + u_n} = \dfrac{2(u_n - 1)}{3 + u_n}$
    Par hypothèse, $u_n - 1 > 0$ et $3 + u_n > 0$, donc $u_{n+1} - 1 > 0$, soit $u_{n+1} > 1$. $P_{n+1}$ est vraie.
    Conclusion : pour tout entier naturel $n$, $u_n > 1$.

    1. Pour tout entier naturel $n$ :
      $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1 + 3 u_n}{3 + u_n} - u_n = \dfrac{1 + 3 u_n - u_n(3 + u_n)}{3 + u_n} = \dfrac{1 - u_n^2}{3 + u_n}$
      Et puisque $1 - u_n^2 = (1 - u_n)(1 + u_n)$ :

      $u_{n+1} - u_n = \dfrac{(1 - u_n)(1 + u_n)}{3 + u_n}$

    2. D'après la question 1, $u_n > 1$ pour tout $n$. Par conséquent :

      • $1 - u_n < 0$,
      • $1 + u_n > 0$,
      • $3 + u_n > 0$.

      Donc $u_{n+1} - u_n < 0$ pour tout entier naturel $n$ : la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
      Elle est décroissante et minorée par $1$ ; d'après le théorème de la convergence monotone, elle converge.

Partie B

  1. On fait tourner l'algorithme :
    $u_1 = \dfrac{1 + 0{,}5 \times 2}{0{,}5 + 2} = \dfrac{2}{2{,}5} = 0{,}8$
    $u_2 = \dfrac{1 + 0{,}5 \times 0{,}8}{0{,}5 + 0{,}8} = \dfrac{1{,}4}{1{,}3} \approx 1{,}077$
    $u_3 = \dfrac{1 + 0{,}5 \times 1{,}077}{0{,}5 + 1{,}077} \approx \dfrac{1{,}5385}{1{,}577} \approx 0{,}976$

    $i$ $1$ $2$ $3$
    $u$ $0{,}8$ $1{,}077$ $0{,}976$
  2. Au vu des valeurs, la suite $(u_n)$ semble converger vers $1$.
    1. Pour tout entier naturel $n$, on calcule $v_{n+1}$ :
      $v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1} + 1}$
      $u_{n+1} - 1 = \dfrac{1 + 0{,}5 \, u_n}{0{,}5 + u_n} - 1 = \dfrac{1 + 0{,}5 \, u_n - 0{,}5 - u_n}{0{,}5 + u_n} = \dfrac{0{,}5 - 0{,}5 \, u_n}{0{,}5 + u_n} = \dfrac{-0{,}5(u_n - 1)}{0{,}5 + u_n}$
      $u_{n+1} + 1 = \dfrac{1 + 0{,}5 \, u_n + 0{,}5 + u_n}{0{,}5 + u_n} = \dfrac{1{,}5 + 1{,}5 \, u_n}{0{,}5 + u_n} = \dfrac{1{,}5(u_n + 1)}{0{,}5 + u_n}$
      D'où :
      $v_{n+1} = \dfrac{-0{,}5(u_n - 1)}{1{,}5(u_n + 1)} = -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{u_n - 1}{u_n + 1} = -\dfrac{1}{3} v_n$
      La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{1}{3}$.

    2. Le premier terme est $v_0 = \dfrac{u_0 - 1}{u_0 + 1} = \dfrac{1}{3}$.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ :

      $v_n = \dfrac{1}{3} \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$
    1. Pour tout entier naturel $n$, $|v_n| = \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1} \leqslant \dfrac{1}{3} < 1$. Donc $v_n \neq 1$.

    2. À partir de $v_n = \dfrac{u_n - 1}{u_n + 1}$, on exprime $u_n$ :
      $v_n (u_n + 1) = u_n - 1$
      $v_n u_n + v_n = u_n - 1$
      $u_n (1 - v_n) = 1 + v_n$
      Comme $v_n \neq 1$, on peut diviser par $1 - v_n$ :

      $u_n = \dfrac{1 + v_n}{1 - v_n}$

    3. Comme $\left|-\dfrac{1}{3}\right| < 1$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{3}\right)^n = 0$, donc $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n = 0$.
      Par opérations sur les limites :

      $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \dfrac{1 + 0}{1 - 0} = 1$