Exercice 2   6 points

Commun à tous les candidats

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies pour tout réel $x$ par :

Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement $\mathscr C_{f}$ et $\mathscr C_{g}$, sont fournies ci-dessous.

Partie A

Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure.

Partie B

Dans cette partie, on admet l'existence de ces tangentes communes.

On note $\mathscr D$ l'une d'entre elles. Cette droite est tangente à la courbe $\mathscr C_{f}$ au point A d'abscisse $a$ et tangente à la courbe $\mathscr C_{g}$ au point B d'abscisse $b$.

1. 1. Exprimer en fonction de $a$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr C_{f}$ au point A.

   2. Exprimer en fonction de $b$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathscr C_{g}$ au point B.

   3. En déduire que $b = - a$

2. Démontrer que le réel $a$ est solution de l'équation

   $2\left( x - 1\right)e^{x}+1=0.$

Partie C

On considère la fonction $\phi$ définie sur $\mathbb{R}$ par

1. 1. Calculer les limites de la fonction $\phi$ en $- \infty$ et $+ \infty$.

   2. Calculer la dérivée de la fonction $\phi$, puis étudier son signe.

   3. Dresser le tableau de variation de la fonction $\phi$ sur $\mathbb{R}$. Préciser la valeur de $\phi \left(0\right)$

2. 1. Démontrer que l'équation $\phi \left(x\right)=0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$.

   2. On note $\alpha$ la solution négative de l'équation $\phi \left(x\right)=0$ et $\beta$ la solution positive de cette équation.

      À l'aide d'une calculatrice, donner les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ arrondies au centième

Partie D

Dans cette partie, on démontre l'existence de ces tangentes communes, que l'on a admise dans la partie B.

On note E le point de la courbe $\mathscr C_{f}$ d'abscisse $a$ et F le point de la courbe $\mathscr C_{g}$ d'abscisse $- a$ ($a$ est le nombre réel défini dans la partie C).

1. Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe $\mathscr C_{f}$ au point E.

2. Démontrer que (EF) est tangente à $\mathscr C_{g}$ au point F.