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Terminale

moyenExercice corrigé

Suite - Etude des variations - Convergence

Soit la suite \left(u_{n}\right) définie par u_{0}=1 et pour tout entier n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=\frac{1}{3}\left(u_{n}^{2}+1\right)

  1. Calculer u_{1}, u_{2}, u_{3}. Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de \left(u_{n}\right)?
  2. Démontrer cette conjecture par récurrence.
  3. La suite \left(u_{n}\right) est elle convergente ?

Corrigé

  1. u_{1}=\frac{1}{3}\left(1^{2}+1\right)=\frac{2}{3}
    u_{2}=\frac{1}{3}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+1\right)=\frac{13}{27}
    u_{3}=\frac{1}{3}\left(\left(\frac{13}{27}\right)^{2}+1\right)=\frac{898}{2187}
    u_{1}\approx 0,67, u_{2}\approx 0,48, u_{3}\approx 0,41. La suite \left(u_{n}\right) semble décroissante.
  2. Montrons par récurrence que la suite \left(u_{n}\right) est décroissante c'est à dire que pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}\leqslant u_{n}
    Initialisation
    D'aprés la question 1, u_{1}=\frac{2}{3} donc u_{1}\leqslant u_{0}
    La proposition est donc vraie pour n=0

    Hérédité
    On suppose que u_{n+1}\leqslant u_{n} pour un certain entier n et on va montrer qu'alors u_{n+2} \leqslant u_{n+1}
    Remarquons tout d'abord que u_{0} est positif et que la formule u_{n+1}=\frac{1}{3}\left(u_{n}^{2}+1\right) montre que tous les autres termes de la suite sont également positifs.
    u_{n+1} \leqslant u_{n} \Rightarrow u_{n+1}^{2} \leqslant u_{n}^{2} car la fonction x\mapsto x^{2} est croissante sur \left[0;+\infty \right[
    u_{n+1}\leqslant u_{n} \Rightarrow u_{n+1}^{2}+1 \leqslant u_{n}^{2}+1
    u_{n+1}\leqslant u_{n} \Rightarrow \frac{1}{3}\left(u_{n+1}^{2}+1\right) \leqslant \frac{1}{3}\left(u_{n}^{2}+1\right)
    u_{n+1}\leqslant u_{n} \Rightarrow u_{n+2} \leqslant u_{n+1}
    Conclusion
    Pour tout entier n \in \mathbb{N}, u_{n+1}\leqslant u_{n} donc la suite \left(u_{n}\right) est décroissante.
    Remarque : Ici le calcul de u_{n+1}-u_{n} (en vue de montrer que la suite est décroissante) n'aboutit pas à un résultat facilement exploitable.

  3. On a vu que les termes de la suite \left(u_{n}\right) étaient positifs donc la suite \left(u_{n}\right) est minorée par zéro.
    Comme elle est également décroissante d'après la question précédente, la suite \left(u_{n}\right) est convergente.(voir théorème)
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