Suite - Etude des variations - Convergence

Corrigé

1. u_{1}=\frac{1}{3}\left(1^{2}+1\right)=\frac{2}{3}
   u_{2}=\frac{1}{3}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+1\right)=\frac{13}{27}
   u_{3}=\frac{1}{3}\left(\left(\frac{13}{27}\right)^{2}+1\right)=\frac{898}{2187}
   u_{1}\approx 0,67, u_{2}\approx 0,48, u_{3}\approx 0,41. La suite \left(u_{n}\right) semble décroissante.
2. Montrons par récurrence que la suite \left(u_{n}\right) est décroissante c'est à dire que pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}\leqslant u_{n}
   Initialisation
   D'aprés la question 1, u_{1}=\frac{2}{3} donc u_{1}\leqslant u_{0}
   La proposition est donc vraie pour n=0

   Hérédité
   On suppose que u_{n+1}\leqslant u_{n} pour un certain entier n et on va montrer qu'alors u_{n+2} \leqslant u_{n+1}
   Remarquons tout d'abord que u_{0} est positif et que la formule u_{n+1}=\frac{1}{3}\left(u_{n}^{2}+1\right) montre que tous les autres termes de la suite sont également positifs.
   u_{n+1} \leqslant u_{n} \Rightarrow u_{n+1}^{2} \leqslant u_{n}^{2} car la fonction x\mapsto x^{2} est croissante sur \left[0;+\infty \right[
   u_{n+1}\leqslant u_{n} \Rightarrow u_{n+1}^{2}+1 \leqslant u_{n}^{2}+1
   u_{n+1}\leqslant u_{n} \Rightarrow \frac{1}{3}\left(u_{n+1}^{2}+1\right) \leqslant \frac{1}{3}\left(u_{n}^{2}+1\right)
   u_{n+1}\leqslant u_{n} \Rightarrow u_{n+2} \leqslant u_{n+1}
   Conclusion
   Pour tout entier n \in \mathbb{N}, u_{n+1}\leqslant u_{n} donc la suite \left(u_{n}\right) est décroissante.
   Remarque : Ici le calcul de u_{n+1}-u_{n} (en vue de montrer que la suite est décroissante) n'aboutit pas à un résultat facilement exploitable.

3. On a vu que les termes de la suite \left(u_{n}\right) étaient positifs donc la suite \left(u_{n}\right) est minorée par zéro.
   Comme elle est également décroissante d'après la question précédente, la suite \left(u_{n}\right) est convergente.(voir théorème)