u1=31(12+1)=32
u2=31((32)2+1)=2713
u3=31((2713)2+1)=2187898
u1≈0,67,u2≈0,48,u3≈0,41. La suite (un) semble décroissante.
Montrons par récurrence que la suite (un) est décroissante c'est à dire que pour tout n∈N, un+1⩽un
Initialisation
D'aprés la question 1, u1=32 donc u1⩽u0
La proposition est donc vraie pour n=0
Hérédité
On suppose que un+1⩽un pour un certain entier n et on va montrer qu'alors un+2⩽un+1
Remarquons tout d'abord que u0 est positif et que la formule un+1=31(un2+1) montre que tous les autres termes de la suite sont également positifs.
un+1⩽un⇒un+12⩽un2 car la fonction x↦x2 est croissante sur [0;+∞[
un+1⩽un⇒un+12+1⩽un2+1
un+1⩽un⇒31(un+12+1)⩽31(un2+1)
un+1⩽un⇒un+2⩽un+1
Conclusion
Pour tout entier n∈N, un+1⩽un donc la suite (un) est décroissante.
Remarque : Ici le calcul de un+1−un (en vue de montrer que la suite est décroissante) n'aboutit pas à un résultat facilement exploitable.