Suite – Étude des variations – Convergence

On applique la relation de récurrence.

$ u_{1}=\dfrac{1}{3}\left(1^{2}+1\right)=\dfrac{2}{3} $
$ u_{2}=\dfrac{1}{3}\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}+1\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{4}{9}+1\right)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{13}{9}=\dfrac{13}{27} $
$ u_{3}=\dfrac{1}{3}\left(\left(\dfrac{13}{27}\right)^{2}+1\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{169}{729}+1\right)=\dfrac{898}{2187} $

Valeurs approchées : $ u_{1}\approx 0{,}667 $, $ u_{2}\approx 0{,}481 $, $ u_{3}\approx 0{,}411 $.

La suite $ \left(u_{n}\right) $ semble décroissante.

Montrons par récurrence que la suite $ \left(u_{n}\right) $ est décroissante, c'est-à-dire que pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ u_{n+1}\leqslant u_{n} $.

Initialisation. D'après la question 1, $ u_{1}=\dfrac{2}{3} $ et $ u_0=1 $, donc $ u_{1}\leqslant u_{0} $. La proposition est vraie au rang $ 0 $.

Hérédité. Supposons que $ u_{n+1}\leqslant u_{n} $ pour un certain entier $ n $ et montrons qu'alors $ u_{n+2} \leqslant u_{n+1} $.

Remarquons tout d'abord que $ u_{0} $ est positif et que la formule $ u_{n+1}=\dfrac{1}{3}(u_{n}^{2}+1) $ montre que $ u_{n+1} \geqslant \dfrac{1}{3} > 0 $ pour tout entier $ n $. Tous les termes de la suite sont donc positifs.

Comme $ u_{n+1}\leqslant u_{n} $ et que la fonction $ x\mapsto x^{2} $ est croissante sur $ [0~;~+\infty[ $ :

$ u_{n+1}^{2} \leqslant u_{n}^{2} $

En ajoutant $ 1 $ puis en divisant par $ 3 $ :

$ \dfrac{1}{3}\left(u_{n+1}^{2}+1\right) \leqslant \dfrac{1}{3}\left(u_{n}^{2}+1\right) $

D'où $ u_{n+2} \leqslant u_{n+1} $.

Conclusion. Pour tout entier $ n \in \mathbb{N} $, $ u_{n+1}\leqslant u_{n} $. La suite $ \left(u_{n}\right) $ est donc décroissante.

On a vu que tous les termes de la suite $ \left(u_{n}\right) $ sont positifs : la suite est donc minorée par $ 0 $.

Comme elle est également décroissante d'après la question précédente, la suite $ \left(u_{n}\right) $ est convergente d'après le théorème de convergence monotone.