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Suite - Etude des variations - Convergence

Soit la suite (un)\left(u_{n}\right) définie par u0=1u_{0}=1 et pour tout entier n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1=13(un2+1)u_{n+1}=\frac{1}{3}\left(u_{n}^{2}+1\right)

  1. Calculer u1u_{1}, u2u_{2}, u3u_{3}. Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de (un)\left(u_{n}\right)?

  2. Démontrer cette conjecture par récurrence.

  3. La suite (un)\left(u_{n}\right) est elle convergente ?

Corrigé

  1. u1=13(12+1)=23u_{1}=\frac{1}{3}\left(1^{2}+1\right)=\frac{2}{3}

    u2=13((23)2+1)=1327u_{2}=\frac{1}{3}\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+1\right)=\frac{13}{27}

    u3=13((1327)2+1)=8982187u_{3}=\frac{1}{3}\left(\left(\frac{13}{27}\right)^{2}+1\right)=\frac{898}{2187}

    u1≈0,67,u2≈0,48,u3≈0,41u_{1}\approx 0,67, u_{2}\approx 0,48, u_{3}\approx 0,41. La suite (un)\left(u_{n}\right) semble décroissante.

  2. Montrons par récurrence que la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante c'est à dire que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1⩽unu_{n+1}\leqslant u_{n}

    Initialisation
    D'aprés la question 1, u1=23u_{1}=\frac{2}{3} donc u1⩽u0u_{1}\leqslant u_{0}

    La proposition est donc vraie pour n=0n=0

    Hérédité
    On suppose que un+1⩽unu_{n+1}\leqslant u_{n} pour un certain entier nn et on va montrer qu'alors un+2⩽un+1u_{n+2} \leqslant u_{n+1}

    Remarquons tout d'abord que u0u_{0} est positif et que la formule un+1=13(un2+1)u_{n+1}=\frac{1}{3}\left(u_{n}^{2}+1\right) montre que tous les autres termes de la suite sont également positifs.

    un+1⩽un⇒un+12⩽un2u_{n+1} \leqslant u_{n} \Rightarrow u_{n+1}^{2} \leqslant u_{n}^{2} car la fonction x↦x2x\mapsto x^{2} est croissante sur [0;+∞[\left[0;+\infty \right[

    un+1⩽un⇒un+12+1⩽un2+1u_{n+1}\leqslant u_{n} \Rightarrow u_{n+1}^{2}+1 \leqslant u_{n}^{2}+1

    un+1⩽un⇒13(un+12+1)⩽13(un2+1)u_{n+1}\leqslant u_{n} \Rightarrow \frac{1}{3}\left(u_{n+1}^{2}+1\right) \leqslant \frac{1}{3}\left(u_{n}^{2}+1\right)

    un+1⩽un⇒un+2⩽un+1u_{n+1}\leqslant u_{n} \Rightarrow u_{n+2} \leqslant u_{n+1}

    Conclusion
    Pour tout entier n∈Nn \in \mathbb{N}, un+1⩽unu_{n+1}\leqslant u_{n} donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est décroissante.

    Remarque : Ici le calcul de un+1−unu_{n+1} - u_{n} (en vue de montrer que la suite est décroissante) n'aboutit pas à un résultat facilement exploitable.

  3. On a vu que les termes de la suite (un)\left(u_{n}\right) étaient positifs donc la suite (un)\left(u_{n}\right) est minorée par zéro.

    Comme elle est également décroissante d'après la question précédente, la suite (un)\left(u_{n}\right) est convergente.(voir théorème)

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