Suite et récurrence – Exercice de synthèse

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $1 \leqslant u_{n} \leqslant 2$.

Initialisation : $u_{0}=2$ donc $1 \leqslant u_{0} \leqslant 2$. La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons que pour un certain entier $n$ : $1 \leqslant u_{n} \leqslant 2$ (hypothèse de récurrence) et montrons que $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$.

De $1 \leqslant u_{n} \leqslant 2$ on déduit :
$5 \leqslant u_{n}+4 \leqslant 6$
On inverse chaque membre (la fonction inverse est strictement décroissante sur $\left]0;+\infty \right[$) :
$\dfrac{1}{6} \leqslant \dfrac{1}{u_{n}+4} \leqslant \dfrac{1}{5}$
On multiplie chaque membre par $-5$ (on change une nouvelle fois le sens car $-5$ est négatif) :
$-\dfrac{5}{5} \leqslant -\dfrac{5}{u_{n}+4} \leqslant -\dfrac{5}{6}$
Enfin, on ajoute $2$ à chaque membre :
$2 - 1 \leqslant 2 - \dfrac{5}{u_{n}+4} \leqslant 2 - \dfrac{5}{6}$
$1 \leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac{7}{6}$
Or $\dfrac{7}{6} < 2$ donc on a bien $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$. La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : D'après le principe de récurrence, pour tout entier $n\in \mathbb{N}$ : $\mathbf{1 \leqslant u_{n} \leqslant 2}$.

On calcule $u_{n+1} - u_{n}$ :
$u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4} - u_{n} = \dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4} - \dfrac{u_{n}\left(u_{n}+4\right)}{u_{n}+4} = \dfrac{2u_{n}+3 - u_{n}^{2} - 4u_{n}}{u_{n}+4}$
$u_{n+1} - u_{n}=\dfrac{-u_{n}^{2} - 2u_{n}+3}{u_{n}+4}$

On étudie le signe de $-u_{n}^{2} - 2u_{n}+3$, polynôme du second degré en $u_{n}$ :
$\Delta =\left(-2\right)^{2} - 4\times \left(-1\right)\times 3 = 4 + 12 = 16$

Le polynôme possède donc deux racines :
$x_{1}=\dfrac{2 - 4}{-2}=1$ et $x_{2}=\dfrac{2+4}{-2}=-3$

Le coefficient de $u_n^2$ étant négatif, $-u_{n}^{2} - 2u_{n}+3$ est négatif ou nul si $u_{n} \in \left]-\infty ; -3\right] \cup \left[1;+\infty \right[$ et positif ou nul si $u_{n} \in \left[-3;1\right]$.

Or, d'après la question précédente, $1 \leqslant u_{n} \leqslant 2$ donc $-u_{n}^{2} - 2u_{n}+3 \leqslant 0$ pour tout entier $n\in \mathbb{N}$.

Par ailleurs, comme $u_{n} \geqslant 1$, $u_{n}+4 > 0$, donc :
$u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{-u_{n}^{2} - 2u_{n}+3}{u_{n}+4} \leqslant 0$
La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc décroissante.

On fait tendre $n$ vers $+\infty$ dans chaque membre de l'égalité $u_{n+1}=\dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4}$.

Si $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=\ell$, alors $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n+1}=\ell$ et :
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{2u_{n}+3}{u_{n}+4}=\dfrac{2\ell+3}{\ell+4}$
Par unicité de la limite :
$\ell=\dfrac{2\ell+3}{\ell+4}$
c'est-à-dire :
$\ell\left(\ell+4\right)=2\ell+3$
$\ell^{2}+4\ell - 2\ell - 3=0$
$\ell^{2}+2\ell - 3=0$
Cette équation possède deux solutions : $1$ et $-3$ (équation équivalente à celle résolue à la question 3).

Comme $1 \leqslant u_{n} \leqslant 2$, la limite ne peut pas être égale à $-3$, donc $\ell=1$.

En conclusion : $\mathbf{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }u_{n}=1}$.