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COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

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Récurrence : Calcul de sommes

Montrer que pour tout entier naturel nn non nul :

  1. k=1nk(k+1)=n(n+1)(n+2)3\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right) = \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}

  2. k=1nk(k+1)(k+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)4\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)= \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}

Corrigé

  1. Initialisation

    On commence l'initialisation à n=1n=1 car l'énoncé précise que nn est un entier naturel non nul.

    La somme k=11k(k+1)\sum_{k=1}^{1}k\left(k+1\right) ne contient alors qu'un terme qui est 1×(1+1)=21\times \left(1+1\right)=2

    Or 22 est bien égal à 1×(1+1)×(1+2)3\frac{1\times \left(1+1\right)\times \left(1+2\right)}{3}

    La proposition est donc vraie pour n=1n=1

    Hérédité

    On suppose que la propriété est vraie pour un certain entier nn. C'est à dire que pour cet entier nn on a :

    k=1nk(k+1)=n(n+1)(n+2)3\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right) = \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3} (Hypothèse de récurrence)

    et on va montrer qu'alors :

    k=1n+1k(k+1)=(n+1)(n+2)(n+3)3\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right) = \frac{\left(n\color{red}{+1}\right)\left(n\color{red}{+2}\right)\left(n\color{red}{+3}\right)}{3} (on a remplacé nn par n+1n+1 dans la formule que l'on souhaite prouver).

    On va calculer k=1n+1k(k+1)\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right) en isolant le dernier terme de notre somme :

    k=1n+1k(k+1)=1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)+(n+1)(n+2)\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right) = 1\times 2 + 2\times 3 + 3\times 4 + . . . + n\left(n+1\right) \color{red}{+ \left(n+1\right)\left(n+2\right)}

    or si on regroupe tous les termes sauf le dernier (qui est en rouge) :

    1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)=k=1nk(k+1)=n(n+1)(n+2)31\times 2 + 2\times 3 + 3\times 4 + . . . + n\left(n+1\right) = \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)= \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3} par hypothèse de récurrence.

    Par conséquent :

    k=1n+1k(k+1)=n(n+1)(n+2)3+(n+1)(n+2)\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\color{red}{+\left(n+1\right)\left(n+2\right)}

    k=1n+1k(k+1)=n(n+1)(n+2)3+3(n+1)(n+2)3\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+\frac{3\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}

    k=1n+1k(k+1)=n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)3\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}

    k=1n+1k(k+1)=(n+1)(n+2)(n+3)3\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{3} ( en mettant (n+1)(n+2)\left(n+1\right)\left(n+2\right) en facteur )

    ce qui correspond bien à la formule que nous souhaitions montrer.

    En conclusion, nous avons bien démontré que pour pour tout entier nn strictement positif :

    k=1nk(k+1)=n(n+1)(n+2)3\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right) = \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}

  2. La démonstration est analogue.

    Initialisation

    On commence là encore l'initialisation à n=1n=1.

    La somme k=11k(k+1)(k+2)\sum_{k=1}^{1}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) ne contient alors qu'un seul terme qui est 1×(1+1)×(1+2)=1×2×3=61\times \left(1+1\right)\times \left(1+2\right)=1\times 2\times 3=6

    Or 66 est égal à 1×(1+1)×(1+2)×(1+3)4\frac{1\times \left(1+1\right)\times \left(1+2\right)\times \left(1+3\right)}{4}

    La proposition est donc vraie pour n=1n=1

    Hérédité

    On suppose que la propriété est vraie pour un certain entier nn :

    k=1nk(k+1)(k+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)4\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) = \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4} (Hypothèse de récurrence)

    et on va montrer qu'alors :

    k=1n+1k(k+1)(k+2)=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)4\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) = \frac{\left(n\color{red}{+1}\right)\left(n\color{red}{+2}\right)\left(n\color{red}{+3}\right)\left(n\color{red}{+4}\right)}{4} (on a remplacé nn par n+1n+1 dans la formule que l'on souhaite démontrer).

    On calcule k=1n+1k(k+1)(k+2)\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) en isolant le dernier terme :

    k=1n+1k(k+1)(k+2)\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)

    =1×2×3+2×3×4+3×4×5+...+n(n+1)(n+2)+(n+1)(n+2)(n+3) = 1\times 2\times 3 + 2\times 3\times 4 + 3\times 4\times 5 + . . . + n\left(n+1\right)\left(n+2\right) \color{red}{+ \left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}

    On regroupe tous les termes sauf le dernier :

    1×2×3+2×3×4+3×4×5+...+n(n+1)(n+2)1\times 2\times 3 + 2\times 3\times 4 + 3\times 4\times 5 + . . . + n\left(n+1\right)\left(n+2\right)

    =k=1nk(k+1)(k+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)4 = \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)= \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4} par hypothèse de récurrence.

    Donc:

    k=1n+1k(k+1)(k+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)4+(n+1)(n+2)(n+3)\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}\color{red}{+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}

    k=1n+1k(k+1)(k+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)4+4(n+1)(n+2)(n+3)4\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}+\frac{4\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}

    k=1n+1k(k+1)(k+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)+4(n+1)(n+2)(n+3)4\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+4\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}

    k=1n+1k(k+1)(k+2)=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)4\sum_{k=1}^{n\color{red}{+1}}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}{4} ( en mettant (n+1)(n+2)(n+3)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right) en facteur )

    C'est bien ce que nous souhaitions trouver !

    En conclusion, pour pour tout entier nn strictement positif :

    k=1nk(k+1)(k+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)4\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)= \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}