Récurrence : Calcul de sommes

On démontre la formule par récurrence sur $n \geqslant 1$.

Initialisation :
On commence l'initialisation à $n=1$ car l'énoncé précise que $n$ est un entier naturel non nul.

La somme $\sum_{k=1}^{1}k\left(k+1\right)$ ne contient qu'un seul terme : $1\times \left(1+1\right)=2$.

Or $\dfrac{1\times \left(1+1\right)\times \left(1+2\right)}{3} = \dfrac{1 \times 2 \times 3}{3} = 2$.

La proposition est donc vraie pour $n=1$.

Hérédité :
On suppose la propriété vraie pour un certain entier naturel $n \geqslant 1$, c'est-à-dire :
$\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right) = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$ (hypothèse de récurrence)

On va montrer que :
$\sum_{k=1}^{n+1}k\left(k+1\right) = \dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{3}$

On calcule $\sum_{k=1}^{n+1}k\left(k+1\right)$ en isolant le dernier terme :
$\sum_{k=1}^{n+1}k\left(k+1\right) = \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right) + \left(n+1\right)\left(n+2\right)$

Par hypothèse de récurrence :
$\sum_{k=1}^{n+1}k\left(k+1\right) = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3} + \left(n+1\right)\left(n+2\right)$
$\phantom{\sum_{k=1}^{n+1}k\left(k+1\right)} = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right) + 3\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$

En mettant $\left(n+1\right)\left(n+2\right)$ en facteur :
$\sum_{k=1}^{n+1}k\left(k+1\right) = \dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{3}$

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion :
D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ non nul :

La démonstration est analogue.

Initialisation :
On commence l'initialisation à $n=1$.

La somme $\sum_{k=1}^{1}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)$ ne contient qu'un seul terme : $1\times \left(1+1\right)\times \left(1+2\right) = 1\times 2\times 3 = 6$.

Or $\dfrac{1\times \left(1+1\right)\times \left(1+2\right)\times \left(1+3\right)}{4} = \dfrac{1 \times 2 \times 3 \times 4}{4} = 6$.

La proposition est donc vraie pour $n=1$.

Hérédité :
On suppose la propriété vraie pour un certain entier naturel $n \geqslant 1$ :
$\sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}$ (hypothèse de récurrence)

On va montrer que :
$\sum_{k=1}^{n+1}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) = \dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}{4}$

On calcule en isolant le dernier terme :
$\sum_{k=1}^{n+1}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) = \sum_{k=1}^{n}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) + \left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)$

Par hypothèse de récurrence :
$\sum_{k=1}^{n+1}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4} + \left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)$
$\phantom{\sum_{k=1}^{n+1}k\left(k+1\right)\left(k+2\right)} = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right) + 4\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}$

En mettant $\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)$ en facteur :
$\sum_{k=1}^{n+1}k\left(k+1\right)\left(k+2\right) = \dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}{4}$

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion :
D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ non nul :