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Terminale S

difficulté moyenneExercice corrigé

Démonstration d'une conjecture par récurrence

Soit k un réel positif ou nul.
On considère la suite (u_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par u_0=0 et pour tout entier n \geqslant 0 : u_{n+1}= \sqrt{u_n^2+k^2} .

  1. Exprimer u_1, u_2, u_3 en fonction de k.
    Conjecturer la valeur de u_n en fonction de k et de n.
  2. Démontrer, par récurrence, la conjecture émise à la question précédente.

Corrigé

  1. u_{1}= \sqrt{u_0^2+k^2} = \sqrt{k^2} = k
    car k est un réel positif ou nul.
    u_{2}= \sqrt{u_1^2+k^2} = \sqrt{k^2 + k^2}= \sqrt{2k^2} = k\sqrt{2}
    u_{3}= \sqrt{u_2^2+k^2} = \sqrt{\left(k\sqrt{2}\right)^2 + k^2}= \sqrt{2k^2+k^2} = k\sqrt{3}
    Au vu de ces premiers résultats, on est amené à conjecturer que, pour tout entier naturel n : u_n=k \sqrt{n}
  2. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n : u_n=k \sqrt{n}

    Initialisation :
    u_0=0 et k \sqrt{0} = 0 donc la propriété est vraie au rang 0.

    Hérédité :
    Supposons que la propriété u_n=k \sqrt{n} est vraie pour un certain entier naturel n. Alors :
    u_{n+1}= \sqrt{u_n^2+k^2} (définition de la suite)
    \phantom{u_{n+1}}= \sqrt{\left(k \sqrt{n}\right)^2+k^2} (hypothèse de récurrence)
    \phantom{u_{n+1}}= \sqrt{nk^2+k^2}
    \phantom{u_{n+1}}= \sqrt{(n+1)k^2}
    \phantom{u_{n+1}}= k\sqrt{n+1}
    ce qui montre que la propriété est héréditaire.

    Conclusion :
    Pour tout entier naturel n : u_n=k \sqrt{n}

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Cours

  • Suites et récurrence

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Méthodes

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Compléments

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Vrai-Faux

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