Maths-cours

COURS & EXERCICES DE MATHÉMATIQUES

Démonstration d'une conjecture par récurrence

Soit $k$ un réel positif ou nul.

On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier $n \geqslant 0$ : $u_{n+1}= \sqrt{u_n^2+k^2}$ .

Exprimer $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ en fonction de $k$ .

Conjecturer la valeur de $u_n$ en fonction de $k$ et de $n$ .
Démontrer, par récurrence, la conjecture émise à la question précédente.

Corrigé

$u_{1}= \sqrt{u_0^2+k^2}$ $= \sqrt{k^2} = k$

car $k$ est un réel positif ou nul.

$u_{2}= \sqrt{u_1^2+k^2} = \sqrt{k^2 + k^2}$ $= \sqrt{2k^2} = k\sqrt{2}$

$u_{3}= \sqrt{u_2^2+k^2} = \sqrt{\left(k\sqrt{2}\right)^2 + k^2}= \sqrt{2k^2+k^2} = k\sqrt{3}$

Au vu de ces premiers résultats, on est amené à conjecturer que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n=k \sqrt{n}$
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $u_n=k \sqrt{n}$

Initialisation : $u_0=0$ et $k \sqrt{0} = 0$ donc la propriété est vraie au rang $0$ .

Hérédité : Supposons que la propriété $u_n=k \sqrt{n}$ est vraie pour un certain entier naturel $n$ . Alors :

$u_{n+1}= \sqrt{u_n^2+k^2}$ (définition de la suite)

$\phantom{u_{n+1}}= \sqrt{\left(k \sqrt{n}\right)^2+k^2}$ (hypothèse de récurrence)

$\phantom{u_{n+1}}= \sqrt{nk^2+k^2}$

$\phantom{u_{n+1}}= \sqrt{(n+1)k^2}$

$\phantom{u_{n+1}}= k\sqrt{n+1}$

ce qui montre que la propriété est héréditaire.

Conclusion : Pour tout entier naturel $n$ : $u_n=k \sqrt{n}$

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