Exercice corrigéSoit k un réel positif ou nul.
On considère la suite (u_n)_{n \in \mathbb{N}} définie par u_0=0 et pour tout entier n \geqslant 0 : u_{n+1}= \sqrt{u_n^2+k^2} .
- Exprimer u_1, u_2, u_3 en fonction de k.
Conjecturer la valeur de u_n en fonction de k et de n. - Démontrer, par récurrence, la conjecture émise à la question précédente.
Corrigé
- u_{1}= \sqrt{u_0^2+k^2} = \sqrt{k^2} = k
car k est un réel positif ou nul.
u_{2}= \sqrt{u_1^2+k^2} = \sqrt{k^2 + k^2}= \sqrt{2k^2} = k\sqrt{2}
u_{3}= \sqrt{u_2^2+k^2} = \sqrt{\left(k\sqrt{2}\right)^2 + k^2}= \sqrt{2k^2+k^2} = k\sqrt{3}
Au vu de ces premiers résultats, on est amené à conjecturer que, pour tout entier naturel n : u_n=k \sqrt{n} - Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n : u_n=k \sqrt{n}
Initialisation :
u_0=0 et k \sqrt{0} = 0 donc la propriété est vraie au rang 0.Hérédité :
Supposons que la propriété u_n=k \sqrt{n} est vraie pour un certain entier naturel n. Alors :
u_{n+1}= \sqrt{u_n^2+k^2} (définition de la suite)
\phantom{u_{n+1}}= \sqrt{\left(k \sqrt{n}\right)^2+k^2} (hypothèse de récurrence)
\phantom{u_{n+1}}= \sqrt{nk^2+k^2}
\phantom{u_{n+1}}= \sqrt{(n+1)k^2}
\phantom{u_{n+1}}= k\sqrt{n+1}
ce qui montre que la propriété est héréditaire.Conclusion :
Pour tout entier naturel n : u_n=k \sqrt{n}
