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Calcul d'une intégrale avec exponentielle

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

f(x)=xe−xf\left(x\right)=xe^{ - x}

  1. Déterminer les réels aa et bb tels que la fonction FF définie sur R\mathbb{R} par F(x)=(ax+b)e−xF\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{ - x} soit une primitive de ff.

  2. En déduire la valeur de :

    I=∫01f(t)dtI=\int_{0}^{1}f\left(t\right)dt

Corrigé

  1. FF est une primitive de ff si et seulement si F′=fF^{\prime}=f

    Si F(x)=(ax+b)e−xF\left(x\right)=\left(ax+b\right)e^{ - x} alors :

    F′(x)=ae−x+(ax+b)×−e−xF^{\prime}\left(x\right)=ae^{ - x}+\left(ax+b\right)\times - e^{ - x} (formule (uv)′=u′v+uv′\left(uv\right)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime})

    F′(x)=(−ax+a−b)e−xF^{\prime}\left(x\right)=\left( - ax+a - b\right) e^{ - x}

    Par identification, F′=fF^{\prime}=f si et seulement si −a=1 - a=1 et a−b=0a - b=0; c'est à dire :

    a=−1a= - 1 et b=−1 b= - 1

    On obtient alors :

    F(x)=(−x−1)e−xF\left(x\right)=\left( - x - 1\right)e^{ - x}

  2. I=F(1)−F(0)=−2e−1+1e0=1−2eI=F\left(1\right) - F\left(0\right)= - 2e^{ - 1}+1e^{0}=1 - \frac{2}{e}

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