Calcul des primitives d'une fonction rationnelle

On considère la fonction $f$ définie sur $\left]1 ; +\infty \right[$ par :

$f\left(x\right)=\frac{x^{3} - x^{2} - x+3}{\left(x - 1\right)^{2}}$

Déterminer les réels $a$ , $b$ , $c$ tels que :
$f\left(x\right)=ax+b+\frac{c}{\left(x - 1\right)^{2}}$
En déduire l'ensemble des primitives de la fonction $f$ .

Corrigé

$ax+b+\frac{c}{\left(x - 1\right)^{2}}=\frac{\left(ax+b\right)\left(x - 1\right)^{2}+c}{\left(x - 1\right)^{2}}=\frac{\left(ax+b\right)\left(x^{2} - 2x+1\right)+c}{\left(x - 1\right)^{2}}$

$ax+b+\frac{c}{\left(x - 1\right)^{2}}=\frac{ax^{3} - 2ax^{2}+ax+bx^{2} - 2bx+b+c}{\left(x - 1\right)^{2}}$

$ax+b+\frac{c}{\left(x - 1\right)^{2}}=\frac{ax^{3}+\left(b - 2a\right)x^{2}+\left(a - 2b\right)x+\left(b+c\right)}{\left(x - 1\right)^{2}}$

En identifiant les coefficients du polynôme au numérateur on obtient :

♦ $a=1$

♦ $b - 2a= - 1$

♦ $a - 2b= - 1$

♦ $b+c=3$

c'est à dire $a=1, b=1, c=2$ .

Par conséquent :
$f\left(x\right)=x+1+\frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}$
$x\mapsto \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$ est de la forme $x\mapsto \frac{u^{\prime}\left(x\right)}{u\left(x\right)^{2}}$ dont une primitive est : $x\mapsto - \frac{1}{u\left(x\right)}$

Les primitives de $f$ sur $\left]1 ; +\infty \right[$ sont donc les fonctions $F$ définies par :
$F\left(x\right)=\frac{x^{2}}{2}+x - \frac{2}{x - 1}+k$ où $k \in \mathbb{R}$