Calcul des primitives d'une fonction rationnelle
On considère la fonction f définie sur ]1;+∞[ par :
f(x)=(x−1)2x3−x2−x+3
Déterminer les réels a, b, c tels que :
f(x)=ax+b+(x−1)2c
En déduire l'ensemble des primitives de la fonction f.
ax+b+(x−1)2c=(x−1)2(ax+b)(x−1)2+c=(x−1)2(ax+b)(x2−2x+1)+c
ax+b+(x−1)2c=(x−1)2ax3−2ax2+ax+bx2−2bx+b+c
ax+b+(x−1)2c=(x−1)2ax3+(b−2a)x2+(a−2b)x+(b+c)
En identifiant les coefficients du polynôme au numérateur on obtient :
♦ a=1
♦ b−2a=−1
♦ a−2b=−1
♦ b+c=3
c'est à dire a=1,b=1,c=2.
Par conséquent :
f(x)=x+1+(x−1)22
x↦(x−1)21 est de la forme x↦u(x)2u′(x) dont une primitive est : x↦−u(x)1
Les primitives de f sur ]1;+∞[ sont donc les fonctions F définies par :
F(x)=2x2+x−x−12+k où k∈R
