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Primitives, intégrales, équations différentielles

1. Primitives d'une fonction

Définition

Soit f une fonction définie sur I.

On dit que F est une primitive de f sur l'intervalle I, si et seulement si F est dérivable sur I et pour tout x de I, F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right).

Exemple

La fonction F: ~x\mapsto x^{2} est une primitive de la fonction f:~x\mapsto 2x sur \mathbb{R}.

La fonction G: ~x\mapsto x^{2}+1 est aussi une primitive de cette même fonction f.

Propriété

Si F est une primitive de f sur I, alors les autres primitives de f sur I sont les fonctions de la forme F+k où k\in \mathbb{R}.

Remarque

Une fonction continue ayant une infinité de primitives, il ne faut pas dire la primitive de f mais une primitive de f.

Exemple

Les primitives de la fonction f:~x\mapsto 2x sont les fonctions F:~ x\mapsto x^{2}+k où k\in \mathbb{R}.

Propriété

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Propriétés

Primitives des fonctions usuelles :

Fonction f Primitives F Ensemble de validité
0 k \mathbb{R}
a ax+k \mathbb{R}
x^{n} ~ \left(n\in \mathbb{N}\right) \frac{x^{n+1}}{n+1}+k \mathbb{R}
\frac{1}{x^{n}} ~ \left(n\in \mathbb{N};~n>1\right) -\frac{1}{\left(n-1\right)x^{n-1}}+k \mathbb{R}-\left\{0\right\}
\frac{1}{x} \ln x+k \left]0;+\infty \right[
e^{x} e^{x}+k \mathbb{R}

Propriétés

Si f et g sont deux fonctions définies sur I et admettant respectivement F et G comme primitives sur I et k un réel quelconque.

  • F+G est une primitive de la fonction f+g sur I.

  • kF est une primitive de la fonction kf sur I.

Propriétés

Primitives et fonctions composées

Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

Fonction f Primitives F Condition
u^{\prime}u^{n} ~ \left(n\in \mathbb{N}\right) \frac{u^{n+1}}{n+1}+k
\frac{u^{\prime}}{u} \ln u+k si u\left(x\right)>0
\frac{u^{\prime}}{u^{n}} ~ \left(n\in \mathbb{N};~n>1\right) -\frac{1}{\left(n-1\right)u^{n-1}}+k si u\left(x\right)\neq 0
\frac{u^{\prime}}{\sqrt{u}} 2\sqrt{u}+k si u\left(x\right)>0
u^{\prime}e^{u} e^{u}+k

Exemple

La fonction x\mapsto \frac{2x}{x^{2}+1} admet comme primitives les fonctions de la forme x\mapsto \ln\left(x^{2}+1\right)+k sur tout intervalle de \mathbb{R} (forme \frac{u^{\prime}}{u}).

2. Intégrales

Définition

Soit f une fonction continue sur un intervalle \left[a;b\right] et F une primitive de f sur \left[a;b\right]. L'intégrale de a à b de f est le nombre réel noté \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x défini par:

\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=F\left(b\right)-F\left(a\right).

Remarques

  • L'intégrale ne dépend pas de la primitive de f choisie.

    En effet si G est une autre primitive de f, on a G=F+k donc :

    G\left(b\right)-G\left(a\right)=F\left(b\right)+k-\left(F\left(a\right)+k\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right)
  • Dans l'expression \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x, x est une variable «  muette  ». C'est à dire que l'on ne change pas l'expression si on remplace x par une autre lettre. En pratique, on emploie souvent la lettre t notamment lorsque la lettre x est employée par ailleurs.

Notations

On note souvent : F\left(b\right)-F\left(a\right)=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}.

On a avec cette notation :

\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}.

Exemple

La fonction F définie par F\left(x\right)=\frac{x^{3}}{3} est une primitive de la fonction carré.

On a donc :

\int_{0}^{1}x^{2}\text{d}x=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}-\frac{0}{3}=\frac{1}{3}.

Théorème (intégrale fonction de sa borne supérieure)

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a \in I; la fonction définie sur I par :

x\mapsto \int_{a}^{ x}f\left(t\right)\text{d}t

est la primitive de f qui s'annule pour x=a.

Démonstration

Soit F une primitive (quelconque) de f. Posons \Phi \left(x\right)=\int_{a}^{ x}f\left(t\right)\text{d}t

\Phi \left(x\right)=\int_{a}^{ x}f\left(t\right)\text{d}t=F\left(x\right)-F\left(a\right)

donc:

\Phi ^{\prime}\left(x\right)=F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right).

Ce qui prouve que \Phi est aussi une primitive de f.

De plus \Phi \left(a\right)=F\left(a\right)-F\left(a\right)=0.

Remarque

Notez bien la position du x en borne supérieure de l'intégrale.

Exemple

La fonction définie sur \left[0 ; +\infty \right[ x\mapsto \int_{1}^{ x}\frac{1}{t}\text{d}t (on peut aussi écrire \int_{1}^{ x}\frac{\text{d}t}{t}) est la primitive de la fonction inverse qui s'annule pour x=1. C'est donc la fonction logarithme népérien:

\ln\left(x\right)= \int_{1}^{ x}\frac{\text{d}t}{t}.

Propriété

Relation de Chasles

Soit f une fonction continue sur \left[a;b\right] et c\in \left[a;b\right].

\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x=\int_{a}^{c}f\left(x\right)\text{d}x+\int_{c}^{b}f\left(x\right)\text{d}x.

Propriété

Linéarité de l'intégrale

Soit f et g deux fonctions continues sur \left[a;b\right] et \lambda \in \mathbb{R}.

  • \int_{a}^{b}f\left(x\right)+g\left(x\right)\text{d}x=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x+\int_{a}^{b}g\left(x\right)\text{d}x

  • \int_{a}^{b} \lambda f\left(x\right)\text{d}x=\lambda \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x.

Propriété

Comparaison d'intégrales

Soit f et g deux fonctions continues sur \left[a;b\right] telles que f\geqslant g sur \left[a;b\right].

\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x\geqslant \int_{a}^{b}g\left(x\right)\text{d}x.

Remarque

En particulier, en prenant pour g la fonction nulle on obtient si f\left(x\right)\geqslant 0 sur \left[a;b\right]:

\int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x\geqslant 0.

3. Interprétation graphique

Définition

Le plan P est rapporté à un repère orthogonal \left(O,\vec{i},\vec{j}\right).

On appelle unité d'aire (u.a.) l'aire d'un rectangle (qui est un carré si le repère est orthonormé) dont les côtés mesurent ||\vec{i}|| et ||\vec{j}||.

unité d'aire

Unité d'aire dans le cas d'un repère orthonormé

Propriété

Si f est une fonction continue et positive sur \left[a;b\right], alors l'intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x est l'aire, en unités d'aire, de la surface délimitée par :

  • la courbe C_{f},

  • l'axe des abscisses,

  • les droites (verticales) d'équations x=a et x=b.

Exemple

aire et intégrale

L'aire colorée ci-dessus est égale (en unités d'aire) à \int_{1}^{3}f\left(x\right)\text{d}x.

Remarques

  • Si f est négative sur \left[a;b\right], la propriété précédente appliquée à la fonction -f montre que \int_{a}^{b}f\left(x\right)\text{d}x est égale à l'opposé de l'aire délimitée par la courbe C_{f}, l'axe des abscisses, les droites d'équations x=a et x=b.

  • Si le signe de f varie sur \left[a;b\right], on découpe \left[a;b\right] en sous-intervalles sur lesquels f garde un signe constant.

Propriété

Si f et g sont des fonctions continues et telles que f\leqslant g sur \left[a;b\right], alors l'aire de la surface délimitée par :

  • la courbe C_{f},

  • la courbe C_{g},

  • les droites (verticales) d'équations x=a et x=b.

est égale (en unités d'aire) à :

A=\int_{a}^{b}\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)\text{d}x.

Exemple

f et g définies par f\left(x\right)=x^{2}-x et g\left(x\right)=3x-x^{2} sont représentées par les paraboles ci-dessous :

aire entre deux courbes

L'aire colorée est égale (en unités d'aire) à :

A=\int_{0}^{2}\left(g\left(x\right)-f\left(x\right)\right)\text{d}x=\int_{0}^{2} \left(4x-2x^{2}\right)\text{d}x=\left[2x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3} \text{u.a.}
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