1. Primitives d’une fonction
Définition
Soit f une fonction définie sur I.
On dit que F est une primitive de f sur l’intervalle I, si et seulement si F est dérivable sur I et pour tout x de I, F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right).
Exemple
La fonction F: ~x\mapsto x^{2} est une primitive de la fonction f:~x\mapsto 2x sur \mathbb{R}.
La fonction G: ~x\mapsto x^{2}+1 est aussi une primitive de cette même fonction f.
Propriété
Si F est une primitive de f sur I, alors les autres primitives de f sur I sont les fonctions de la forme F+k où k\in \mathbb{R}.
Remarque
Une fonction continue ayant une infinité de primitives, il ne faut pas dire la primitive de f mais une primitive de f.
Exemple
Les primitives de la fonction f:~x\mapsto 2x sont les fonctions F:~ x\mapsto x^{2}+k où k\in \mathbb{R}.
Propriété
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.
Propriétés
Primitives des fonctions usuelles :
| Fonction f | Primitives F | Ensemble de validité |
| 0 | k | \mathbb{R} |
| a | ax+k | \mathbb{R} |
| x^{n} ~ \left(n\in \mathbb{N}\right) | \frac{x^{n+1}}{n+1}+k | \mathbb{R} |
| \frac{1}{x^{n}} ~ \left(n\in \mathbb{N};~n>1\right) | -\frac{1}{\left(n-1\right)x^{n-1}}+k | \mathbb{R}-\left\{0\right\} |
| \frac{1}{x} | \ln x+k | \left]0;+\infty \right[ |
| e^{x} | e^{x}+k | \mathbb{R} |
Propriétés
Si f et g sont deux fonctions définies sur I et admettant respectivement F et G comme primitives sur I et k un réel quelconque.
- F+G est une primitive de la fonction f+g sur I.
- kF est une primitive de la fonction kf sur I.
Propriétés
Primitives et fonctions composées
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
| Fonction f | Primitives F | Condition |
| u^{\prime}u^{n} ~ \left(n\in \mathbb{N}\right) | \frac{u^{n+1}}{n+1}+k | |
| \frac{u^{\prime}}{u} | \ln u+k | si u\left(x\right)>0 |
| \frac{u^{\prime}}{u^{n}} ~ \left(n\in \mathbb{N};~n>1\right) | -\frac{1}{\left(n-1\right)u^{n-1}}+k | si u\left(x\right)\neq 0 |
| \frac{u^{\prime}}{\sqrt{u}} | 2\sqrt{u}+k | si u\left(x\right)>0 |
| u^{\prime}e^{u} | e^{u}+k |
Exemple
La fonction x\mapsto \frac{2x}{x^{2}+1} admet comme primitives les fonctions de la forme x\mapsto \ln\left(x^{2}+1\right)+k sur tout intervalle de \mathbb{R} (forme \frac{u^{\prime}}{u}).
2. Intégrales
Définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle \left[a;b\right] et F une primitive de f sur \left[a;b\right].
L’intégrale de a à b de f est le nombre réel noté \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx défini par:
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)
Remarques
- L’intégrale ne dépend pas de la primitive de f choisie.
En effet si G est une autre primitive de f, on a G=F+k donc :
G\left(b\right)-G\left(a\right)=F\left(b\right)+k-\left(F\left(a\right)+k\right)=F\left(b\right)-F\left(a\right) - Dans l’expression \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx, x est une variable «muette». C’est à dire que l’on ne change pas l’expression si on remplace x par une autre lettre. En pratique, on emploie souvent la lettre t notamment lorsque la lettre x est employée par ailleurs
Notations
On note souvent : F\left(b\right)-F\left(a\right)=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
On a avec cette notation :
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}
Exemple
La fonction F définie par F\left(x\right)=\frac{x^{3}}{3} est une primitive de la fonction carré.
On a donc :
\int_{0}^{1}x^{2}dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}-\frac{0}{3}=\frac{1}{3}
Théorème (intégrale fonction de sa borne supérieure)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a \in I; la fonction définie sur I :
x\mapsto \int_{a}^{ x}f\left(t\right)dt
est la primitive de f qui s’annule pour x=a
Démonstration
Soit F une primitive (quelconque) de f. Posons \Phi \left(x\right)=\int_{a}^{ x}f\left(t\right)dt
\Phi \left(x\right)=\int_{a}^{ x}f\left(t\right)dt=F\left(x\right)-F\left(a\right)
donc:
\Phi ^{\prime}\left(x\right)=F^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)
Ce qui prouve que \Phi est aussi une primitive de f.
De plus \Phi \left(a\right)=F\left(a\right)-F\left(a\right)=0
Remarque
Notez bien la position du x en borne supérieure de l’intégrale.
Exemple
La fonction définie sur \left[0 ; +\infty \right[ x\mapsto \int_{1}^{ x}\frac{1}{t}dt (on peut aussi écrire aussi \int_{1}^{ x}\frac{dt}{t}) est la primitive de la fonction inverse qui s’annule pour x=1. C’est donc la fonction logarithme népérien:
\ln\left(x\right)= \int_{1}^{ x}\frac{dt}{t}
Propriété
Relation de Chasles
Soit f une fonction continue sur \left[a;b\right] et c\in \left[a;b\right].
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{c}f\left(x\right)dx+\int_{c}^{b}f\left(x\right)dx
Propriété
Linéarité de l’intégrale
Soit f et g deux fonctions continues sur \left[a;b\right] et \lambda \in \mathbb{R}.
- \int_{a}^{b}f\left(x\right)+g\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx+\int_{a}^{b}g\left(x\right)dx
- \int_{a}^{b} \lambda f\left(x\right)dx=\lambda \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx
Propriété
Comparaison d’intégrales
Soit f et g deux fonctions continues sur \left[a;b\right] telles que f\geqslant g sur \left[a;b\right].
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\geqslant \int_{a}^{b}g\left(x\right)dx
Remarque
En particulier, en prenant pour g la fonction nulle on obtient si f\left(x\right)\geqslant 0 sur \left[a;b\right]:
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\geqslant 0
3. Interprétation graphique
Définition
Le plan P est rapporté à un repère orthogonal \left(O,\vec{i},\vec{j}\right).
On appelle unité d’aire (u.a.) l’aire d’un rectangle dont les côtés mesurent ||\vec{i}|| et ||\vec{j}||.
Propriété
Si f est une fonction continue et positive sur \left[a;b\right], alors l’intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx est l’aire, en unités d’aire, de la surface délimitée par :
- la courbe C_{f}
- l’axe des abscisses
- les droites (verticales) d’équations x=a et x=b
Exemple
L’aire colorée ci-dessus est égale (en unités d’aire) à \int_{1}^{3}f\left(x\right)dx
Remarques
- Si f est négative sur \left[a;b\right], la propriété précédente appliquée à la fonction -f montre que
\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx est égale à l’opposé de l’aire délimitée par la courbe C_{f}, l’axe des abscisses, les droites d’équations x=a et x=b - Si le signe de f varie sur \left[a;b\right], on découpe \left[a;b\right] en sous-intervalles sur lesquels f garde un signe constant.
Propriété
Si f et g sont des fonctions continues et telles que f\leqslant g sur \left[a;b\right], alors l’aire de la surface délimitée par :
- la courbe C_{f}
- la courbe C_{g}
- les droites (verticales) d’équations x=a et x=b
est égale (en unités d’aire) à :
A=\int_{a}^{b}g\left(x\right)-f\left(x\right)dx
Exemple
f et g définies par f\left(x\right)=x^{2}-x et g\left(x\right)=3x-x^{2} sont représentées par les paraboles ci-dessous :
L’aire colorée est égale (en unités d’aire) à :
A=\int_{0}^{2}g\left(x\right)-f\left(x\right)dx=\int_{0}^{2} 4x-2x^{2}=\left[2x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3} \text{u.a.}
