Intégrales Encadrements - Bac S Amérique du Nord 2008
Exercice 4
7 points - Commun à tous les candidats
Partie A
Restitution organisée de connaissances
On supposera connus les résultats suivants :
Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a,b] avec a<b.
Si u>0 sur [a,b] alors ∫abu(x)dx⩾0.
Pour tous réels α et β, ∫ab[αu(x)+βv(x)]dx=α∫abu(x)dx+β∫abv(x)dx.
Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a,b] avec a<b et si, pour tout x de [a,b], f(x)⩽g(x) alors ∫abf(x)dx⩽∫abg(x)dx.
Partie B
On considère la fonction f définie sur [0,+∞[ par : f(x)=x+ln(1+e−x). Sa courbe représentative C ainsi que la droite D d'équation y=x sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
Montrer que f est croissante et positive sur [0,+∞[.
Montrer que la courbe C admet pour asymptote la droite D.
Etudier la position de C par rapport à D.
Soit I l'intégrale définie par : I=∫01ln(1+e−x)dx=∫01[f(x)−x]dx. On ne cherchera pas à calculer I.
Donner une intérprétation géométrique de I.
Montrer que pour tout réel t⩾0, on a ln(1+t)⩽t.
(On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur [0,+∞[ par g(t)=ln(1+t)−t)
On admettra que pour tout réel t⩾0, on a t+1t⩽ln(1+t).
En déduire que pour tout x de [0,+∞[, on a : e−x+1e−x⩽ln(1+e−x)⩽e−x.
Montrer que ln(1+e−12)⩽I⩽1−e−1.
En déduire un encadrement de I d'amplitude 0,4 par deux nombres décimaux.
On désigne par M et N les points de même abscisse x appartenant respectivement à C et D.
On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance MN est inférieure à 0,5 mm.
Déterminer l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles M et N sont indiscernables.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
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