Exponentielle et intégrale

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$f(x) = \left(1 - x^2\right) e^x.$

On note $\mathscr C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ d'unité 1 centimètre.

Calculer les limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$ et lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ .
1. Calculer la dérivée $f^\prime$ de la fonction $f$ .
2. Étudier le signe de $f^\prime(x)$ .
3. Construire le tableau de variations de $f$
Déterminer les points d'intersections de la courbe $\mathscr C$ et de l'axe des ordonnées.
A l'aide des questions précédentes, tracer la courbe $\mathscr C$ dans le repère orthonormal $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ d'unité 1 centimètre.
Soient $a$ , $b$ et $c$ trois réels et $F$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) =(ax^2+bx+c)e^x$ .
1. Calculer $F^\prime(x)$ .
2. Montrer qu'il existe des valeurs de $a$ , $b$ et $c$ telles que $F^\prime=f$
En déduire la valeur exacte de l'intégrale $\mathcal{A} = \int_0^1 f(x)\:\text{d}x$ .
Interpréter graphiquement l'intégrale $\mathcal{A}$ .

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