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Calcul d'intégrales (simples)

Calculer les intégrales suivantes :

  1. A=∫01(3x2+x+2)dxA=\int_{0}^{ 1}\left(3x^{2}+x+2\right) dx

  2. B=∫241xdxB=\int_{2}^{ 4}\frac{1}{x}dx

  3. C=∫122xe(x2−1)dxC=\int_{1}^{ 2}2x e^{\left(x^{2} - 1\right)}dx

Corrigé

  1. Une primitive de f:x↦3x2+x+2f : x\mapsto 3x^{2}+x+2 sur R\mathbb{R} est F:x↦x3+x22+2xF : x\mapsto x^{3}+\frac{x^{2}}{2}+2x

    A=F(1)−F(0)=1+12+2−0=72A=F\left(1\right) - F\left(0\right)=1+\frac{1}{2}+2 - 0=\frac{7}{2}

  2. Une primitive de f:x↦1xf : x\mapsto \frac{1}{x} sur ]0;+∞[\left]0 ; +\infty \right[ est la fonction ln\ln.

    B=ln(4)−ln(2)=ln(42)=ln(2)B=\ln\left(4\right) - \ln\left(2\right)=\ln\left(\frac{4}{2}\right)=\ln\left(2\right)

  3. La fonction f:x↦2xe(x2−1)f : x\mapsto 2x e^{\left(x^{2} - 1\right)} est de la forme u′euu^{\prime}e^{u} avec u(x)=x2−1u\left(x\right)=x^{2} - 1.

    Une primitive de cette fonction sur R\mathbb{R} est donc F:x↦e(x2−1)F : x \mapsto e^{\left(x^{2} - 1\right)}

    C=F(2)−F(1)=e(22−1)−e(1−1)=e3−1C=F\left(2\right) - F\left(1\right)=e^{\left(2^{2} - 1\right)} - e^{\left(1 - 1\right)}=e^{3} - 1

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