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Primitive d'une fonction rationnelle

Soit ff la fonction définie sur I=]3;+∞[I=\left]3;+\infty \right[ par :

f(x)=x2−6x+8(x−3)2f\left(x\right)=\frac{x^{2} - 6x+8}{\left(x - 3\right)^{2}}

  1. Etudier le signe de ff sur II.

  2. Montrer que pour tout x∈Ix \in I :

    f(x)=1−1(x−3)2f\left(x\right)=1 - \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}

  3. En déduire une primitive de ff sur II. 

Corrigé

  1. Le dénominateur de f(x)f\left(x\right) est toujours strictement positif sur I.

    f(x)f\left(x\right) est donc du signe du numérateur qui est un trinôme du second degré dont les racines sont 2 et 4 (calculez Δ\Delta ...)

    Le tableau de signe de ff est :

    Exercice

  2. 1−1(x−3)2=(x−3)2−1(x−3)2=x2−6x+9−1(x−3)2=x2−6x+8(x−3)21 - \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}=\frac{\left(x - 3\right)^{2} - 1}{\left(x - 3\right)^{2}}=\frac{x^{2} - 6x+9 - 1}{\left(x - 3\right)^{2}}=\frac{x^{2} - 6x+8}{\left(x - 3\right)^{2}}

  3. −1(x−3)2 - \frac{1}{\left(x - 3\right)^{2}} est de la forme −u′(x)u(x)2 - \frac{u^{\prime}\left(x\right)}{u\left(x\right)^{2}} avec u(x)=x−3u\left(x\right)=x - 3. Une primitive FF de ff est donc :

    F(x)=x+1x−3F\left(x\right)=x+\frac{1}{x - 3}

    (Toutes les primitives de ff sont de la forme F(x)=x+1x−3+CF\left(x\right)=x+\frac{1}{x - 3}+C avec C∈RC\in \mathbb{R})

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