Quiz . Maths-cours

C'est faux.

Sur l’intervalle $\left[ 0~;~1 \right]$, $x \geqslant x^2$ ( sur $\left[ 0~;~1 \right]$ la parabole d'équation $y=x^2$ est située au-dessous de la droite d'équation $y = x$ ) donc $x \text{e}^{ x } \geqslant x^2 \text{e}^{ x }$ (produit par un nombre positif).

Par conséquent : $I \geqslant J$

C'est vrai.

Sur l'intervalle $\left[ - 1~;~0 \right]$ :

$t^2 \geqslant 0$ et $\text{e}^{ - t } \geqslant 0$

donc $t^2 \text{e}^{ - t } \geqslant 0$ et par positivité de l'intégrale $A \geqslant 0.$

C'est faux.

Pour tout entier naturel $n$ : $x^n \geqslant x^{n+1}$ sur l'intervalle $\left[ 0~;~1 \right]$.

Donc $u_n \geqslant u_{ n+1 }$ et la suite $(u_n)$ est décroissante.

N.B. : On peut également calculer $u_n = \frac{ 1 }{ n+1 }.$

C'est vrai.

L'aire $\mathscr{A}$ est égale à :

$\mathscr{A} = \int_{0}^{1} x^2 \text{d}x$

Une primitive de la fonction $x \longmapsto x^2$ est la fonction $x \longmapsto \frac{ x^3 }{ 3 }$, donc :

$\mathscr{A} = \left[ \frac{ x^3 }{ 3 } \right] _0^1 = \frac{ 1 }{ 3 }.$

C'est vrai.

En effet, sur l'intervalle $\left[ 0~;~ \pi \right]$ :

$t^4 \geqslant 0$ et $\sin t \geqslant 0$

Par conséquent $t^4 \sin t \geqslant 0$ et $I \geqslant 0$ (propriété de positivité des intégrales).

C'est vrai.

En effet, si $f$ est une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et $a$ un réel quelconque, la fonction :

$x \longmapsto \int_{a}^{x} f(t) \text{d}t$

est une primitive de la fonction $f$.