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[Bac] Suites et intégrales

Extrait d'un exercice du Bac S Métropole 2014.

Le sujet complet est disponible ici : Bac S Métropole 2014

L'objet de cette exercice est d'étudier la suite (In)\left(I_{n}\right) définie sur N\mathbb{N} par :

In=∫01(x+e−nx)dx.I_{n}=\int_{0}^{1}\left(x+e^{ - nx}\right) dx.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O;i⃗,j⃗)\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) , pour tout entier naturel nn, on note

Cn\mathscr C_{n} la courbe représentative de la fonction fnf_{n} définie sur R\mathbb{R} par

fn(x)=x+e−nx.f_{n}\left(x\right)=x+e^{ - nx}.

Sur le graphique ci-dessous on a tracé la courbe Cn\mathscr C_{n} pour plusieurs valeurs de l'entier nn et la droite D\mathscr D d'équation x=1x=1.

Suites et intégrales

  1. Interpréter géométriquement l'intégrale InI_{n}.

  2. En utilisant cette interprétation, formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In)\left(I_{n}\right) et sa limite éventuelle. On précisera les éléments sur lesquels on s'appuie pour conjecturer.

  3. Démontrer que pour tout entier naturel nn supérieur ou égal à 1,

    In+1−In=∫01e−(n+1)x(1−ex)dx.I_{n+1} - I_{n}=\int_{0}^{1}e^{ - \left(n+1\right)x} \left(1 - e^{x}\right)dx.

    En déduire le signe de In+1−InI_{n+1} - I_{n} puis démontrer que la suite (In)\left(I_{n}\right) est convergente.

  4. Déterminer l'expression de InI_{n} en fonction de nn et déterminer la limite de la suite (In)\left(I_{n}\right).

Corrigé

  1. Sur [0;1]\left[0;1\right] les fonctions fnf_{n} sont strictement positives puisque x⩾0x \geqslant 0 et e−nx>0e^{ - nx} > 0

    L'intégrale InI_{n} représente donc l'aire du plan délimité par la courbe Cn\mathscr C_{n}, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0x=0 et x=1x=1.

  2. D'après la figure, il semble que la suite InI_{n} soit décroissante et tende vers 12\frac{1}{2}.

    En effet, sur [0;1]\left[0;1\right] les courbes Cn\mathscr C_{n} semble se rapprocher de la droite d'équation y=xy=x;

    l'aire comprise entre cette droite, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0x=0 et x=1x=1 vaut 12\frac{1}{2} (triangle rectangle isocèle dont les côtés mesurent 1 unité).

  3. In+1−In=∫01x+e−(n+1)xdx−∫01x+e−nxdxI_{n+1} - I_{n}=\int_{0}^{1}x+e^{ - \left(n+1\right)x}dx - \int_{0}^{1}x+e^{ - nx}dx.

    D'après la propriété de linéarité de l'intégrale :

    In+1−In=∫01x+e−(n+1)x−(x+e−nx)dx=∫01e−(n+1)x−e−nxdxI_{n+1} - I_{n}=\int_{0}^{1}x+e^{ - \left(n+1\right)x} - \left(x+e^{ - nx}\right)dx=\int_{0}^{1}e^{ - \left(n+1\right)x} - e^{ - nx}dx

    In+1−In=∫01e−(n+1)x(1−ex)dxI_{n+1} - I_{n}= \int_{0}^{1}e^{ - \left(n+1\right)x} \left(1 - e^{x}\right)dx

    Or, sur [0;1]\left[0;1\right], ex⩾1e^{x} \geqslant 1 donc 1−ex⩽01 - e^{x}\leqslant 0 et e−(n+1)x>0e^{ - \left(n+1\right)x} > 0 donc d'après la propriété de positivité de l'intégrale : In+1−In⩽0I_{n+1} - I_{n} \leqslant 0.

    La suite (In)\left(I_{n}\right) est donc décroissante. Comme elle est minorée par zéro elle est convergente.

  4. Une primitive de x↦xx\mapsto x sur R\mathbb{R} est x↦x22x\mapsto \frac{x^{2}}{2}

    Une primitive de x↦e−nxx\mapsto e^{ - nx} sur R\mathbb{R} est x↦−e−nxnx\mapsto - \frac{e^{ - nx}}{n}

    Par conséquent :

    In=∫01(x+e−nx)dx=[x22−e−nxn]01=12−e−nn+1nI_{n}=\int_{0}^{1}\left(x+e^{ - nx}\right) dx = \left[\frac{x^{2}}{2} - \frac{e^{ - nx}}{n}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{e^{ - n}}{n}+\frac{1}{n}

    Comme limn→+∞e−nn=0\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\frac{e^{ - n}}{n}=0 (par quotient) et limn→+∞1n=0\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}=0 on a donc :

    limn→+∞In=12\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }I_{n}=\frac{1}{2}

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